1.15.Распределение Эрланга
Плотность распределения наработки до отказа:
для
;
;
— целое.
Функция распределения времени наработки до отказа:
Вероятность безотказной работы:
.
Интенсивность отказов системы в целом:
Соотношения между моментами и параметрами распределения определяются, как и у гамма-распределения, но с заменой параметра на .
Распределение
Эрланга порядка k
описывает распределение случайной
величины
как суммы k
штук независимых случайных величин,
каждая из которых распределена по
показательному (экспоненциальному)
закону с параметром
.
Распределению
Эрланга удовлетворяет время наработки
до отказа резервированной системы с
включением «холодного» резерва по
способу замещения при условии, что
наработка до отказа включенного элемента
подчинена экспоненциальному закону.
При этом
,
где m
— число резервных элементов. Из
соотношения
вытекает свойство структур с «холодным»
резервом – средняя наработка системы
до отказа линейно возрастает от числа
резервных элементов.
1.16.Распределение Вейбулла-Гнеденко
В своих работах Вейбулл использовал это распределение для описания экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости, размеров частиц копоти и др. Также распределение Вейбулла может быть использовано для изучения разброса сроков службы радиоэлектронной аппаратуры.
В частности, этому распределению удовлетворяют:
- наработка деталей по усталостным разрушениям;
- наработка подшипников до отказа;
- наработка деталей и узлов автомобилей, подъемно-транспортных машин;
- наработка конденсаторов;
- наработка реле.
Плотность вероятности наработки до отказа:
Функция распределения времени наработки до отказа:
Вероятность безотказной работы:
Интенсивность отказов (функция «опасности»):
,
где
— время,
— параметр формы,
— параметр масштаба.
Соотношения между моментами и параметрами распределения:
Математическое ожидание (среднего времени наработки до отказа — T):
Дисперсия
D
и среднеквадратическое отклонение
:
;
.
Коэффициент асимметрии Sk («скос» — skewness):
Коэффициент эксцесса Ex («островершинность» — excess):
Гамма-процентная наработка до отказа:
Мода распределения:
Медиана распределения:
95-процентный
квантиль
:
.
Коэффициент вариации:
;
и
при известном значении
мы приходим к необходимости решения
уравнения:
для определения параметра формы распределения,
где
— функция Эйлера (эйлеров интеграл 2-го
рода).
Заметим, что коэффициенты асимметрии и островершинности не зависят от параметра масштаба b.
Универсальность
распределения Вейбулла объясняется
следующим: при
распределение превращается в
экспоненциальное; при
функции плотности и интенсивности
отказов убывающие; при
интенсивность отказов возрастающая;
при
функция
линейная, и распределение Вейбулла
превращается в распределение Рэлея с
плотностью
,
при
распределение Вейбулла близко к
нормальному. Наряду с логарифмически
нормальным распределением, оно хорошо
описывает наработку деталей по усталостным
разрушениям, наработку до отказа
подшипников, а также используется для
оценки надежности деталей и узлов машин,
в частности автомобилей, подъемно-транспортных
и других машин.