4.1. Основы безмоментной теории

Безмоментная теория расчета тонкостенных оболочек предполагает

следующие допущения:

1. Толщина оболочки должна быть достаточно малой по сравнению с

ее другими геометрическими размерами. Например, для цилиндра

где R_вн – внутренний радиус оболочки.

Вследствие малой толщины нормальные напряжения растяжения или

сжатия по толщине оболочки не изменяются, величина их в R_вн/s раз больше

изгибных, что и определяет безмоментное состояние.

2. По форме сосуд обязательно должен представлять оболочку вращения.

3. Нагрузка (давление на стенки) должна быть симметричной относительно оси вращения.

Оболочкой вращения называется оболочка, срединная поверхность которой образована вращением какой-либо плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости.

Срединная поверхность – это поверхность, равноотстоящая от внутренней и наружной стенок оболочки.

Радиусы кривизны меридионального и кольцевого сечений срединной поверхности R₁=O₁A, R₂=O₂A

Радиус кривизны меридиана в какой-либо точке срединной поверхности называется первым главным радиусом кривизны R₁.

R₂ - второй главный радиус кривизны

Соответственно, можно сделать вывод, что для цилиндра и конуса, у которых меридианами являются прямые линии, R₁ = ∞, а для сферы R₁ = R₂ = R. Оболочки с одним вещественным главным радиусом (цилиндр, конус) называются оболочками одинарной кривизны или изогнутыми пластинками. Оболочки с двумя вещественными главными радиусами кривизны в каждой точке (сфера, эллипсоид и тор) называются оболочками двоякой кривизны. Первые могут быть изготовлены с применением недорогих технологических операций из листового материала с помощью гибки и сварки. Для изготовления вторых применяются

более дорогие операции - штамповка, обкатка и литье.

Меридиональное сечение – это сечение оболочки плоскостью, проходящей через ось вращения.

Кольцевое сечение – это сечение оболочки конической поверхностью с вершиной на оси вращения и с образующими, пересекающими поверхность оболочки под прямым углом.

2. Усилия и напряжения в оболочках вращения

Д ля определения усилий и напряжений в оболочке вращения (рис. 2.1) от действия внутреннего давления р выделим методом сечений элемент Э, образованный двумя меридиональными и двумя кольцевыми сечениями.

На выделенный элемент Э действуют силы и моменты, указанные на рис.2.2.

Рассмотрим условие равновесия выделенного элемента Э.

Так как рассматривается безмоментная теория, то принимают K=M=N=0,

где K – кольцевой момент на единицу длины меридиана срединной поверхности;

М – меридиональный момент на единицу длины кольцевого сечения срединной поверхности;

N – перерезывающая сила на единицу длины кольцевого сечения срединной поверхности.

Действующие силы, не равные нулю:

U – меридиональная сила на единицу длины кольцевого сечения срединной поверхности;

Т – кольцевая сила на единицу длины меридиана срединной поверхности.

Запишем уравнение равновесия элемента в проекциях на нормаль n к

срединной поверхности.

На грани ab длиной dy действует нормальное меридиональное напряжение σm :

Это уравнение равновесия элемента или уравнение Лапласа.