Ещё пример задания:
Р-02. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 18 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 35. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 35 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 34.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
Задание 1
а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2
Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3
Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
− у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
− у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.
Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в позиции.
Решение (способ 1, таблица):
Задание 1а. Последним ходом может быть «+1», «+3» или «*2». Выиграть последним ходом «+1» можно, если S = 34. Ходом «+2» можно выиграть при S=32, S=33 и S=34. Ходом «*2» можно выиграть из любой позиции при S > 17. Можно составить таблицу, в которой «В1» обозначает выигрыш за один ход:
-
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
…
34
В1
В1
…
В1
Поэтому ответ должен быть такой:
Задание 1а. Петя может выиграть за один ход при любом S > 17. Он должен увеличить вдвое число камней, при этом в куче всегда получится не менее 36 камней.
Задание 1б. Ваня может выиграть в один ход тогда, когда все ходы Пети из текущей позиции ведут в выигрышные позиции. Это будет при S = 17:
Задание 1б. Ваня может гарантированно выиграть своим первым ходом при S = 17. В этом случае Петя своим первым ходом может получить в куче 18, 19 или 34 камня, то есть, выиграть за один ход не может. В любой из этих позиций Ваня выигрывает своим первым ходом, удваивая количество камней.
Позицию S = 17 отмечаем в таблице как проигрышную (за 1 ход):
-
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
…
34
П1
В1
В1
…
В1
Для того, чтобы Петя смог выиграть своим вторым ходом, ему нужно своим первым ходом перевести игру в проигрышную (для Вани) позицию, то есть, получить 17 камней. Он может сделать это при S = 14 (ходом «+3») или при S = 16 (ходом «+1»).
Задание 2. При S = 14 или S = 16 Петя своим первым ходом может получить 17 камней, переведя игру в проигрышную (для Вани) позицию. Поэтому своим вторым ходом Петя всегда выиграет.
В таблице обозначим эти позиции как выигрышные (за 2 хода):
-
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
…
34
В2
В2
П1
В1
В1
…
В1
для выполнения задания № 3 нужно найти такие позиции, из которых все возможные ходы ведут в выигрышные позиции, помеченные как В1 или В2; это позиции S = 13 и S = 15: при S = 13 можно получить 14, 16 или 26 камней, все эти позиции выигрышные; при S = 15 можно получить 16, 18 или 30 камней, это так же выигрышные позиции
В задании требуется найти только одну подходящую позицию, выбираем S = 13.
Задание 3. При S = 13 после первого хода Пети в куче будет 14, 16, или 26 камней. Если в куче получилось 14 или 16 камней, Ваня выиграет своим вторым ходом (см. задание 2). Если получилось 26 камней, Ваня выигрывает первым ходом, удвоив количество камней.
Строим дерево игры, рассматривая на каждом шаге все возможные ходы Пети и только выигрышный ход Вани:
У нас получилось не совсем дерево, потому что на первом ходу Ваня из двух позиций (S=14 и S=16) приводит игру к проигрышной для Пети позиции S=17. Для сокращения записи можно привести стрелки в один узел. Зелёные прямоугольники обозначают выигрыш Вани.