4.1.1 Отсев грубых погрешностей
Грубые погрешности измерения (аномальные, или сильно выделяющиеся, значения - промахи) очень плохо поддаются определению, хотя каждому экспериментатору ясно, что это такое.
Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда.
1. Наиболее простым способом исключения из ряда наиболее выделяющегося измерения является правило трех сигм – разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать доверительного интервала величиной в три среднеквадратических отклонения (стандарта).
.
Для нашего случая 175,66 +- 3х 5,55 = 175,66 +- 16,65; 175,66 – 16,65 = 159,01;
175,66 + 16,65 = 192,31; 159,01 ‹ 175,66 ‹ 192,31 см; Эти результаты отмечены на рис. 4.1.
По правилу трех сигм грубые ошибки в выборке отсутствуют.
2.
Метод максимального
относительного отклонения
применяют, как правило, для выборки
небольшого объема (n
≤ 25). Критерии
появления грубых ошибок на основе
z
= (Х-М)/
вычисляют по формуле: τр
= |Xi
- Xср|
/
≥ τn,р
;
|189-175,66| / 5,55 = 13,34 / 5,55 = 2,40;
Расчетное значение сравнивают с табличным, если неравенство соблюдается, то наблюдение исключают. На практике обычно используют надежность вывода «р = 0,95» - результат получается с 95% доверительной вероятностью. В табл. 1 Приложения, экстраполируя табличные данные к нашей выборке, получим τn,р не менее 2,023 для р = 0,95; а τn,р не менее 2,417 для р = 0,98.
По методу максимального относительного отклонения грубые ошибки в выборке отсутствуют при надежности вывода 0,98. Измерение 189 см расположено в симметричном интервале рис. 4.1 занимающем 98% площади. После исключения того или иного наблюдения или нескольких наблюдений характеристики эмпирического распределения должны быть пересчитаны по данным сокращенной выборки.
3. Более достоверными являются методы, базируемые на использовании статистических критериев.
Для практических целей лучше всего использовать таблицы распределения Стьюдента. Этот метод исключения грубых ошибок (аномальных значений) отличается простотой, а таблицы распределения Стьюдента имеются практически в любой книге по математической статистике. Распределение Стьюдента относится к категории распределений, связанных с нормальным распределением.
Критическое значение τр (р – процентная точка нормализованного выборочного отклонения) выражается через критическое значение распределения Стьюдента t(p, n-2) :
t (p, n) = (t (p, n-2) √n-1) / (√ n-2 + [t (p, n-2) ]2 );
Процедура вычислений отсева грубых погрешностей:
1) Из исходных данных выбираем наибольшее отклонение 189 – 175,66 = 13,34 см;
2) По ранее приведенной формуле определяем расчетное значение критерия максимального относительного отклонения τр = |Xi - Xср| / =|189-175,66| / 5,55 = 2,40;
3) Находим по табл. 2 Приложения табличные значения процентных точек распределения Стьюдента t (p, n-2) : t(5%,54) = 1,6735; t(0,1%,54) = 3,2574;
4) Вычисляем соответствующие точки:
t (5%, 54) = (t (p, n-2) √n-1) / (√ n-2 + [t (p, n-2) ]2 ) = (1,6735 √55) / ( √54х1,67352 ) = 1,648;
и (3,2574 √55) / ( √54 х 3,25742) = 3,005;
Значение τр = 2,40 находится между двумя табличными критическими значениями: 1,648 ‹ 2,40 ‹ 3,005. В этом случае отсев выделяющегося наблюдения нужно проводить с большой осторожностью, лучше всего от него воздержаться.
Предположим, что при переписывании таблицы исходных данных вкралась грубая ошибка; например, в строке 13 вместо 189 см записано 289 см.
Тогда τр = |Xi - | / = (289 – 175,66)/5,55 = 20,42. Полученное значение относительного отклонения безусловно больше критического табличного значения τ(р, n) при любом значении «р», следовательно, такое наблюдение должно быть отсеяно как грубая погрешность.
Как видно из приведенного примера, рекомендуемый метод отсева грубых погрешностей удобен еще тем, что максимальное относительное отклонение в процессе вычисления могут быть разделены на три группы: 1) τ ≤ τ(5%, n) ; 2) τ(5%, n) ‹ τ ‹ τ(0,1%, n) ; 3) τ › τ(0,1%, n).
Наблюдения, попавшие в первую группу, нельзя отсеивать в любом случае. Наблюдения второй группы можно отсеять, если в пользу этой процедуры имеются еще и другие соображения экспериментатора (например, заключения, сделанные на основе изучения физических, химических и других свойств изучаемого явления). Наблюдения третьей группы отсеивают всегда.