Описание второй задачи

Фигура, ограниченная линиями вращается вокруг оси Ox. Найти объём тела вращения. Проверить ответ на компьютере.

Анализ функций и построение фигуры, образующей тело вращения

Для удобства функцию

В первую очередь убедимся в том, что представленные функции определены и непрерывны на ℝ. Это следует из того, что любая степенная функция с натуральным показателем определена на всей числовой оси, а любая элементарная функция непрерывна на области своего определения. Затем построим графики и найдём точки пересечения функций.

,

Таким образом, для поиска объема данного тела вращения нам потребуются найти интеграл с границами интегрирования и .

Нахождение объёма тела вращения

Так как фигура вращается вокруг оси Ox, для упрощения дальнейших вычислений перепишем кривые, ограничивающие фигуру, в виде

Находим объём тела вращения как разницу объёмов тел вращения фигур, первая из которых ограничена графиком и осью Ox, а вторая графиком и осью Ox с помощью формулы

,

Проверка результатов расчётов на компьютере

Для проверки использовался сайт WolframAlpha.com