Задача 6.

С целью изучения зависимости количества времени использования клиентом мобильной связи в течение месяца (мин.) и стоимости минуты разговора (руб.) произведено обследование 100 абонентов, пользующихся различными тарифными планами, и получены следующие результаты:

	Менее 1	1-1,5	1,5-2	2-2,5	2,5-3	Более 3	Итого
Менее 200				3	9	3	15
200-400				5	8	7	20
400-600			4	13	9	3	29
600-800		2	6	8	2		18
Более 800	6	5	6	1			18
Итого	6	7	16	30	28	13	100

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии;

2. Предполагая, что между переменными и существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными и ;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить время использования мобильной связи при стоимости минуты разговора 2,25 руб.

Решение:

Составим таблицу, в которую будем заносить необходимые данные:

		Менее 1	1-1,5	1,5-2	2-2,5	2,5-3	Более 3		Групповая средняя,
		0,75	1,25	1,75	2,25	2,75	3,25
Менее 200	100				3	9	3	15	2,75
200-400	300				5	8	7	20	2,80
400-600	500			4	13	9	3	29	2,44
600-800	700		2	6	8	2		18	2,03
Более 800	900	6	5	6	1			18	1,31
		6	7	16	30	28	13	100
Групповая средняя,		900	842,86	725	493,33	328,57	300

Для каждого значения вычисляем групповые средние по формуле:

.

Для каждого значения вычисляем групповые средние по формуле:

.

Поле корреляции (синие точки) и эмпирические линии регрессии (точки соединены красной линией, точки соединены зеленой линией) имеют вид:

Уравнения регрессии по и по имеют вид:

, ,

где , - выборочные коэффициенты регрессии по и по соответственно, , - выборочные дисперсии переменных и соответственно, - выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация. Для вычисления необходимых коэффициентов найдем необходимые суммы:

,

,

,

,

.

Тогда получаем:

,

, ,

, .

Тогда уравнения регрессии по и по имеют вид:

, ,

, .

Графики полученных уравнений регрессии на поле корреляции вместе с эмпирическими линиями регрессии имеют вид ( - оранжевая линия, - фиолетовая линия):

Следовательно, при увеличении количества времени использования клиентом мобильной связи в течение месяца стоимость минуты разговора уменьшается.

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

.

Поскольку коэффициент корреляции отрицательный, то между переменными и наблюдается обратная связь. Так как коэффициент корреляции по абсолютной величине удовлетворяет соотношению , то связь является высокой. Проверим значимость коэффициента корреляции:

.

Для уровня значимости и числа степеней свободы критическое значение статистики равно . Поскольку , то при данном уровне значимости коэффициент корреляции между количеством времени использования клиентом мобильной связи в течение месяца и стоимостью минуты разговора значимо отличается от нуля.

Оценим время использования мобильной связи при стоимости минуты разговора 2,25 руб.:

.