Вариант 1. Задача 1.
В отделении Сбербанка микрорайона пользуются банкоматом 20% населения из близлежащих домов. Какова вероятность того, что из 500 наудачу выбранных жителей микрорайона в этом отделении Сбербанка пользуются банкоматом:
а) 90 человек;
б) от 80 до 130 человек;
в) более 120 человек.
Решение:
Пусть
событие
- из 500 жителей банкоматом пользуются
90 человек. Используем локальную формулу
Муавра-Лапласа:
, 
.
По
условию задачи
,
,
,
.
Тогда искомая вероятность равна:
.
Пусть
событие
- из 500 жителей банкоматом пользуются
от 80 до 130 человек. Используем интегральную
формулу Муавра-Лапласа:
,
.
По
условию задачи
,
,
,
,
.
Тогда искомая вероятность равна:
.
Пусть
событие
- из 500 жителей банкоматом пользуются
более 120 человек, то есть от 120 человек
до 500. Используем интегральную формулу
Муавра-Лапласа:
, .
По
условию задачи
,
,
,
,
.
Тогда искомая вероятность равна:
.
Задача 2.
По
наблюдениям за температурой воздуха в
сентябре этого года в данной местности
установлено, что средняя температура
воздуха составила 15
,
а среднее квадратическое отклонение
равно 5
.
Оценить вероятность того, что в сентябре
следующего года средняя температура
воздуха будет:
а) не более 25 ;
б) более 20 ;
в) будет отличаться от средней температуры этого года не более чем на 7 (по абсолютной величине).
Решение:
Найдем вероятность того, что в сентябре следующего года средняя температура воздуха будет не более 25 :
.
Найдем вероятность того, что в сентябре следующего года средняя температура воздуха будет более 20 :
.
Найдем вероятность того, что в сентябре следующего года средняя температура воздуха будет отличаться от средней температуры этого года не более чем на 7 (по абсолютной величине):
,
.
Задача 3.
Известно,
что месячная доходность некоторой
ценной бумаги есть нормально распределенная
случайная величина
(%). Найти ее математическое ожидание и
среднее квадратическое отклонение,
если известно, что
и
.
Построить схематично графики функции
распределения и функции плотности
распределения этой случайной величины.
Вычислить вероятность того, что в
следующем месяце доходность ценной
бумаги будет:
а) не более 4%;
б) не менее 8%;
в) от 35 до 7%.
Решение:
По условию задачи и . Тогда получаем систему уравнений:
,
, 
,
, 
,
, 
,
.
Функция распределения данной случайной величины имеет вид:
.
Функция плотности распределения данной случайной величины имеет вид:
.
Графики
функции распределения
и функции плотности распределения
имеют вид:
Найдем вероятность того, что в следующем месяце доходность ценной бумаги будет не более 4%:
.
Найдем вероятность того, что в следующем месяце доходность ценной бумаги будет не менее 8%:
.
Найдем вероятность того, что в следующем месяце доходность ценной бумаги будет от 3% до 7%:
.
Задача 4.
С целью изучения миграции населения в данной области было проведено выборочное обследование 70 мелких населенных пунктов из 350 имеющихся в области (выборка бесповторная). Получены следующие данные о количестве зарегистрированных мигрантов:
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а) вероятность того, что среднее количество мигрантов во всей области отличается от их среднего количества в выборке не более чем на 1 человека;
б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля всех населенных пунктов области, где количество мигрантов превышает 8 человек;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего количества мигрантов, что и в п. а), можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Решение:
Выпишем элементы данной выборки в порядке их возрастания:
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
9 |
9 |
10 |
10 |
10 |
10 |
11 |
11 |
11 |
12 |
12 |
12 |
13 |
13 |
13 |
13 |
13 |
13 |
13 |
14 |
14 |
14 |
14 |
14 |
14 |
14 |
Объем
выборки
.
Для построения интервального вариационного
ряда определим шаг выборки, воспользовавшись
формулой Стерджесса:
.
Нижняя граница первого интервала определяется формулой:
.
Относительные частоты вычисляем по формуле:
.
Здесь
- накопленные относительные частоты.
В результате получаем интервальный вариационный ряд:
Интервалы |
Середины интервалов,
|
|
|
|
(-1)-1 |
0 |
3 |
0,043 |
0,043 |
1-3 |
2 |
8 |
0,114 |
0,157 |
3-5 |
4 |
10 |
0,143 |
0,3 |
5-7 |
6 |
11 |
0,157 |
0,457 |
7-9 |
8 |
10 |
0,143 |
0,6 |
9-11 |
10 |
8 |
0,114 |
0,714 |
11-13 |
12 |
6 |
0,086 |
0,8 |
13-15 |
14 |
14 |
0,2 |
1 |
|
|
70 |
|
|
Эмпирическая функция распределения в зависимости от значения вариант равна соответствующей накопленной относительной частоте . Тогда эмпирическая функция распределения имеет вид:
.
График эмпирической функции распределения имеет вид:
Построим на одном чертеже гистограмму и полигон частот:
Составим расчетную таблицу:
|
|
|
|
0 |
3 |
0 |
187,23 |
2 |
8 |
16 |
278,48 |
4 |
10 |
40 |
152,1 |
6 |
11 |
66 |
39,71 |
8 |
10 |
80 |
0,1 |
10 |
8 |
80 |
35,28 |
12 |
6 |
72 |
100,86 |
14 |
14 |
196 |
520,94 |
|
70 |
550 |
1314,7 |
|
|
|
|
0 |
3 |
-1479,117 |
11685,0243 |
2 |
8 |
-1643,032 |
9693,8888 |
4 |
10 |
-593,19 |
2313,441 |
6 |
11 |
-75,449 |
143,3531 |
8 |
10 |
0,01 |
0,001 |
10 |
8 |
74,088 |
155,5848 |
12 |
6 |
413,526 |
1695,4566 |
14 |
14 |
3177,734 |
19384,1774 |
|
70 |
-125,43 |
45070,927 |
Вычислим выборочное среднее по формуле:
.
Найдем выборочную исправленную дисперсию по формуле:
.
Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле:
.
Коэффициент вариации определяется формулой:
%
%
%.
Коэффициент асимметрии определяется формулой:
.
Коэффициент эксцесса определяется формулой:
.
Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, которое определяется формулой:
,
где
- нижняя граница модального интервала,
то есть интервала с наибольшей частотой,
- частота в модальном интервале,
- частота в предыдущем интервале,
- частота в следующем интервале. Тогда
получаем:
.
Медиана определяется формулой:
,
где
- нижняя граница медианного интервала,
- накопленная частота в предыдущем
интервале,
- частота в медианном интервале. Тогда
получаем:
.
Найдем вероятность того, что среднее количество мигрантов во всей области отличается от их среднего количества в выборке не более чем на 1 человека. Найдем среднюю квадратическую ошибку выборки по формуле:
.
Тогда получаем:
.
Найдем
границы, в которых с вероятностью 0,98
заключена доля всех населенных пунктов
области, где количество мигрантов
превышает 8 человек. Доля таких населенных
пунктов области составляет
.
Найдем среднюю квадратическую ошибку
для доли таких населенных пунктов
области:
.
Искомые границы определяются формулой:
,
где
предельная ошибка бесповторной выборки
равна
.
Здесь
определяется из соотношения:
,
откуда
.
Тогда получаем:
,
.
Найдем объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего количества мигрантов, что и в п. а), можно гарантировать с вероятностью 0,95. Искомый объем определяется формулой:
, 
,
где
определяется из соотношения:
,
откуда
.
Тогда получаем:
,
.