30. Комплексные числа

arg z =

31. Числовые ряды, общий член, частичная сумма и сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда.

Пусть мы имеем числовую последовательность где , k = 1,2,….

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть,

Сумма вида называется гармоническим числовым рядом.

Сумма вида , где s – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.

1. Гармонический ряд является расходящимся

2. Сумма геометрической прогрессии вида со знаменателем q является сходящимся числовым рядом, если |q| < 1 и расходящимся рядом при

3. Обобщенно гармонический ряд сходится при и расходится при

1. Числовой ряд , называется знакоположительным, если все его члены положительны, то есть, , k = 1, 2, …

2. Числовой ряд называется знакочередующимся, если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где , k = 1, 2, ….

3.Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Свойства сходящихся числовых рядов.

1) Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

2) Если сходится числовой ряд , и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд ,, причем , , где A – произвольная постоянная.

3) Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды и , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

Необходимое условие сходимости ряда.

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: ,

32. Знакопостоянные ряды. Признак сравнения

Если все члены числового ряда имеют один и тот же знак, ряд называют знакопостоянным. Без ограничения общности можно в этом случае рассматривать знакоположительные ряды – ряды с положительными членами.

1. Числовой ряд , называется знакоположительным, если все его члены положительны, то есть, , k = 1, 2, …

Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда.

Для сходимости знакоположительного числового ряда , , k = 1, 2, …. необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Признаки сравнения рядов.

Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна.

Первый признак сравнения рядов. Пусть и , - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Второй признак сравнения. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если ,, то из расходимости числового ряда следует расходимость .

Третий признак сравнения Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .