26. Нахождение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида , где p, q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального
уравнения можно записать так называемое
характеристическое уравнение: 
,
Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:
1 D > 0, Корни 
действительные и различые. Общее решение:
2 D = 0, Корни
действительные и равные. Общее решение:
3 D < 0, Корни
компленсные:
.
Общее решение: 
27. Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка.
ЛНДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет вид 
, где p и q
– произвольные действительные числа,
а функция f(x)
– непрерывна на интервале интегрирования
x.
Общее решение:
Методы нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения.
1) f(x) = 
(x), Частное решение ЛНДУ ищется в виде
,
где 
– многочлен степени n, а r – количество
корней характеристического уравнения,
равных нулю. Так как
- частное решение уравнения, то
коэффициенты, определяющие многочлен
,
находятся методом неопределенных
коэффициентов из равенства 
.
2) f(x) = 
. Частное решение ЛНДУ ищется в виде
,
где
– многочлен степени n, а r – количество
корней характеристического уравнения,
равных 
.
Коэффициенты многочлена
,
определяются из равенства
.
3) 
где 
и 
– числа. Частное решение ЛНДУ представляется
как 
, где А и В – неопределенные коэффициенты,
r – число комплексно
сопряженных пар корней характеристического
уравнения равных 
.
Коэффициенты многочлена А и В находятся
из равенства
.
4) 
.
Частное решение ЛНДУ 
, r – число комплексно
сопряженных пар корней характеристического
уравнения равных
.
,
,
,
,
- многочлены степени n, k,
m. m = max(n,k).
Коэффициенты многочлена
,
находятся из равенства
.
28. Метод вариации произвольных постоянных.
Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:
Вместо постоянных
и
будем рассматривать вспомогательные
функции 
и 
Будем искать эти функции такими, чтобы
решение 
, удовлетворяло неоднородному уравнению
с правой частью f(x).
Неизвестные функции
и
определяются из системы двух уравнений:
29. Системы дифференциальных уравнений.
Нормальная система Д.У.
Система
уравнений вида 
с неизвестными функциями 
.
Решением системы Д.У.
называется вектор-функция (
)
определенная в [a,b],
имеющая там производную первого
порядка и такая, что при подстановке ее
и ее производных в систему каждое
уравнение превращается в тождество.
Задача Коши для системы Д.У.
найти
решение системы 
такое, что в некоторой точке 
оно удовлетворяет начальному условию
= (
)