23. Линейные дифференциальные уравнения. Свойства решений.
Линейным дифференциальным уравнением
n –го порядка называется уравнение
вида 
. Коэффициенты уравнения 
и правую часть f(x)
полагаем непрерывными на отрезке [a;b].
— неоднородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка
— однородное линейное дифференциальное
уравнение n–го порядка
Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка.
Свойства решений:
Из свойств оператора L следует, что если
функции 
являются решениями однородного
дифференциального уравнения n-го порядка,
то функция вида 
,
где 
− произвольные постоянные, также будет
удовлетворять данному уравнению.
Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений
Совокупность n линейно независимых
частных решений 
называется фундаментальной системой
линейного однородного дифференциального
уравнения n-го порядка.
Функции
являются линейно независимыми на
отрезке [a, b], если тождество 
,
выполняется, лишь при условии, что числа
одновременно не равны 0.
Общее решение y(x) неоднородного
уравнения представляется в виде суммы
общего решения 
соответствующего однородного уравнения
и частного решения 
неоднородного уравнения: 
При произвольной правой части f(x) для поиска общего решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных. В случае, если правая часть представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции, частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов.
24. Вронскиан и его свойства.
Для проверки функций на линейную
независимость удобно использовать
определитель Вронского или вронскиан:
Если функции
,
дифференцируемые n − 1 раз, являются
линейно зависимыми на отрезке [a, b], то
выполняется тождество:
Соответственно, если эти функции линейно
независимые на [a, b],
то справедлива формула :
Свойства:
1. Если
— линейно зависимы на [a,
b], то 
, 
2. Если определитель Вронского на интервале [a, b] отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства)
3. Если
- решения линейного однородного
дифференциального уравнения n-го
порядка, то 
называется вронскианом этого уравнения.
Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке [a, b], что означает линейную независимость функций .
25. Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка.
Рассмотрим линейное дифференциальное
уравнение вида 
, где p, q − постоянные коэффициенты.
Общее решение ЛОДУ второго порядка с
постоянными коэффициентами имеет вид
, где 
и
– частные линейно независимые решения,
а 
и
– произвольные постоянные.