20. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

Порядок дифференциального уравнения — это порядок старшей входящей в него производной.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: где p(x) и h(y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение: .

Вычисляя интегралы, получаем выражение Q(y) = P(x) + C

21. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение вида где p(x) и g(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Методы решения:

1) Использование интегрирующего множителя:

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме: то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде

2) Метод вариации постоянной:

Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: методом разделения переменных. Получим , где

Решение уравнения есть , где

Уравнения Бернулли уравнения вида , где 1;0 Решение сводится к линейному заменой

Линейное уравнение будет иметь вид

Уравнение Бернулли также можно решать другим способом, а именно, сделав замену

----- ------

получим уравнение с разделяющимися переменными

22. Общий вид уравнения порядка n. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

– ОДУ n-го порядка, где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная, y(x) — неизвестная функция, Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.

Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий: , , , … .

Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения , удовлетворяющего этим начальным условиям, начальным данным или данным Коши, можно называть их по разному.

Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка называется частным решением.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция содержащая некоторые постоянные (параметры) и обладающая следующими свойствами:

является решением уравнения при любых допустимых значениях

2) для любых начальных данных, для которых задача Коши имеет единственное решение, существуют значения постоянных , такие что решение удовлетворяет заданным начальным условиям.