17. Криволинейный интеграл. Нахождение и свойства.
Рассмотрим на плоскости или в пространстве
кривую L и функцию f, определенную в
каждой точке этой кривой. Разобьем
кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем
на каждой из частей точку Mi. Составим
интегральную сумму 
Назовем λ длину наибольшего
отрезка кривой.
Если существует конечный предел
интегральной суммы
, не зависящий ни от способа разбиения
кривой на отрезки, ни от выбора точек
Mi, то он называется
криволинейным интегралом первого рода
от функции f по кривой L
и обозначается 
Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
,
2. 
,
3. 
,
Способы вычисления криволинейного интеграла 1-го рода
1) В декартовой системе координат :
,
2) В параметрической форме: Пусть линия
интегрирования задана в параметрической
форме х = φ (t), у = ψ(t). Тогда 
,
где А(φ(α), ψ(α)), В( φ(β), ψ(β)).
Криволинейный интеграл 2-го рода в
координатной форме: 
Свойства:
,
2. 
,
3. 
,
Способы вычисления криволинейного интеграла 2-го рода
1) В декартовой системе координат: Пусть
линия интегрирования задана уравнением
у = f (x), тогда криволинейный интеграл от
точки А( а, f (а)) до точки В(b, f (b)) приводится
к вычислению определённого интеграла
2) В параметрической форме: Пусть линия
интегрирования задана в параметрической
форме х = φ(t),
у = ψ(t). Тогда
, где А( φ(α),
ψ(α)), В(
φ(β), ψ(β))
и точка сверху означает производную по
параметру t.
18.Формула Грина
.
Доказательство: Пусть функции P(x,y), Q(x,y), P'y(х,у), Q'x(х,у) непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L
Пусть контур L, кроме того, пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках.
Пусть уравнение АСВ есть y = y1(x) при a ≤ x ≤ b , и уравнение АКВ есть y = y2(x) при a ≤ x ≤ b.
Преобразуем двойной интеграл:
.
Аналогично
получается 
Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования:
Если в односвязной области D заданы и направлены вместе со своими частными производными функции P(x,y) и Q(x,y), , тогда следующие четыре утверждения равносильны:
1. 
,
где L – любой замкнутый
контур, целиком лежащий в области D
2. 
- не зависит от пути интегрирования
3. Существует функция 
4. В области D выполняется
равенство: 
19. Определение дифференциального уравнения. Решения. Задача Коши.
Определение: Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.
Задачей Коши называется задача определения функции или нескольких функций, удовлетворяющих одному или, соответственно, системе дифференциальных уравнений и принимающих заданные значения в некоторой фиксированной точке.
Решить дифференциальное уравнение, значит найти неизвестную функцию y(x), которая обращает это уравнение в верное тождество.