13. Геометрические и физические приложения определенного интеграла
1) Длина кривой.
Если плоская кривая К задана параметрически:
х = g(t),
y = f(t)
< t < 
),
причем g(t)
и f(t)
— непрерывно дифференцируемые функции,
то она имеет длину l, вычисляемую по
формуле
,
Если К задана явно непрерывно
дифференцируемой функцией y
= f (x) (
< x < 
),
то она имеет длину
,
Если К задана в полярных координатах r
= g(k) (
≤ k < 
),
то она имеет длину
,
2) Площадь. Если f(х)
является неотрицательной непрерывной
на интервале а ≤ х ≤ b
функцией, то площадь F
криволинейной трапеции ABCD
вычисляется по формуле 
Площадь S сектора ОАВ, ограниченного кривой АВ, заданной в полярных координатах: r = g(k) ( ≤ k ≤ ), и радиусом ОА и ОВ, определяется интервалом
,
3) Объемы тел вращения. Пусть функция
f(x)
неотрицательна и непрерывна на интервале
а ≤ х ≤ b; объем V
тела, получившегося в результате вращения
криволинейной трапеции аАВb
вокруг оси х, определяется формулой 
4) Площадь поверхности тела вращения.
Площадь S поверхности
тела вращения, возникающего в результате
вращения вокруг оси х кривой, заданной
на интервале а ≤ х ≤ b
неотрицательной непрерывно дифференцируемой
функцией f(x),
вычисляется по формуле 
.
Центр тяжести. Координаты (x, h) центра тяжести материальной кривой с линейной плоскостью d(х), заданной в явном виде:
y = f(x) (a ≤ x ≤ b), выражаются следующим образом:
,
,
где М — полная масса:
14. Кратные интегралы. Определения и свойства.
Кратный интеграл - определенный интеграл от функции нескольких переменных.
Двойной интеграл. Пусть дана на
плоскости область D,
ограниченная замкнутой линией L
не имеющей самопересечений и непрерывная
в D функция z
= f (x,y).
Рассмотрим измельчение области D
на площадки 
, I = 1,2,…,n,
– площади площадок
.
Сумма 
называется интегральной, а предел
таких сумм при стремлении наибольшего
диаметра к нулю и числа площадок n
к бесконечности называется двойным
интегралом функции f (x,y)
по области D и записывается
,
В декартовых координатах выглядит так:
.
Свойства:
1) Если область D разбита на две области M, N так, что D=M∪N и M, N пересекаются лишь по поверхности разбиения, то
2)
3) 
,
где k – константа
15.Вычисление кратных интегралов.
1)Область интегрирования D
ограничена слева и справа прямыми x
= a и x = b
(a < b), а
сверху и снизу – непрерывными кривыми
y = f(x)
и y = g(x),
[f(x) 
g(x)]. Интеграл
вычисляется по формуле:
,
причем сначала вычисляется второй
интеграл в котором ч считается
постоянным.
2) то же самое, только
меняем х на у
16. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
1) Площадь плоской области S:
,
2) Объем цилиндроида, тела, ограниченного
частью поверхности S: z
= f(x,y)
, ограниченной контуром L,
проекцией D этой поверхности
на плоскость Оху и отрезками, параллельными
оси Оz и соединяющими
каждую точку контура L с
соответствующей точкой плоскости Оху:
3) Площадь части криволинейной поверхности
S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной
контуром L: 
,
(если что [
])
4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:
