7. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть непрерывна на [а, b]. Если функция Ф является её первообразной на [а, b], то

Док – во. Пусть F(x) = , Функции F и Ф – две первообразные одной и той же функции .

Значит = Ф(x) + С. При x = a получаем C = - Ф(а). След-но, = Ф(x) - Ф(а). Полагая здесь x = b имеем .

9. Теоремы о среднем значении определенного интеграла.

8. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка [а, b], что =

Доказательство.

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f( ) ≤ M, а > , то m( - ) ≤ M( - ). Складывая такие неравенства и замечая, что

Получаем m(b - a) ≤ G ≤ M(b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на (b – a) к новому неравенству

m ≤ ≤ M , Таким образом, частное h =

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ).

10. Гиперболические функции. Их свойства.

Свойства:

Гиперболический синус и гиперболический косинус

Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс

Производные:

11. Формула Тейлора. Выражение остаточного члена в формуле Лагранжа.

.

( - остаточный член формулы Тейлора).

Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки имеет производные до n + 1–го порядка включительно. Тогда для любой точки x из этой окрестности найдется точка ξ , лежащая между x и , такая, что

, , 0 < < 1

, - Остаточный член в форме Лагранжа

12. Несобственные интегралы.

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

---Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

---Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Несобственным интегралом I рода от функции f(x), определённым на множестве [а,∞], называется предел, к которому стремится интеграл , при n

(1)

Если существует конечный предел в функции (1), то несобственный интеграл называется сходящимся.

Если предел в функции (1) является бесконечным, или его не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Теоремы сравнения

Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что 0 ≤ g(x) ≤ f(x) для всех x в интервале [a, ∞).

1)Если сходится, то также сходится;

2)Если расходится, то также расходится;

3)Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.