38. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням , то есть ряд вида где − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

39. Ряды Тейлора и Маклорена.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

.

где − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

.

40. Разложение в ряд основных элементарных функций.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

41. Функции комплексной переменной. Формулы Эйлера.

Пусть даны две плоскости комплексных чисел и . Рассмотрим некоторое множество D в плоскости z и множество C в плоскости . Если каждому числу по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число , то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D в множество C. Символически это обозначают так:

где , ,

Формула Эйлера

42. Ряды Фурье.

Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом   в виде ряда

, Этот ряд может быть также записан в виде

, где — амплитуда k-го гармонического колебания,

— круговая частота гармонического колебания, — начальная фаза k-го колебания

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису.

Тригонометрическим рядом Фурье функции   называют функциональный ряд вида