Шпора по матану 1.Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Первообразной от функции y=f(x) называется функция F(x), такая что F’(x)=f(x) Выражение, охватывающее множество всех первообразных для данной функции y=f(x), называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается следующим образом: ∫f(x)dx=F(x)+c 1. (F(x)+c)’=f(x)
2. ∫[f1(x)+f2(x)]dx=∫f1(x)dx +∫f2(x)
3. ∫сf(x)dx=с∫f(x)dx
4. Инвариантность (неизменность) формул интегрирования:
Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид, если вместо независимой переменной использовать любую другую независимую переменную,т.е
∫f(x)dx=F(x)+c => ∫f(u)du={u=u(x)}=F(u)+c 2. Табличные интегралы 1. ∫ 0 dx = C = const
2. ∫dx = x + C
3. ∫
dx
= 
/(n+1)
+ C,
(n≠
-1)
4. ∫dx/x = ln|x| + C
5. ∫
dx
=
+ C
6. ∫
dx
=
/lnx
+ C
7. ∫cosx dx = sinx + C
8. ∫sinxdx = - cosx + C
9. ∫dx/cos2x = tgx + C
10. ∫dx/sin2x = - ctgx + C
11)
∫dx/(√1-
)= arcsin x + C = - arccos x + C
12) ∫dx/(1+ ) = arctg x + C = - arcctg x + C
13) ∫tgxdx = - ln |cosx| + C
14) ∫ctgxdx = ln |sinx| + C
15) ∫
dx/(√
-
)=arcsinx/a
+C=-arccos x/a + C
16) ∫dx/( + ) = (1/a)arctg x/a + C=-(1/a)arcctg x/a + C
17) ∫dx/( – ) = (1/2a) ln |(x-a)/(x+a)| + C
18) ∫dx/( - ) = (1/2a) ln |(x+a)/(x-a)| + C
19) ∫dx/(√ +A) = ln |x + (√ +A)| + C
20)
∫(√
+A)dx
= (x/2)(√
+A)
+ (A/2) ln |x+(√
+A)|+C
21) ∫ (√ - )dx = ( /2) arcsin x/a + (x/2) (√ - ) + C
3. Замена переменной интегрирования. Интегрирование по частям
Пусть надо вычислить интеграл вида ∫ U(x) · v(x) dx , где v(x) имеет очевидную первообразную V(x).
Тогда ∫ U(x) · v(x) dx = ∫ U(x) · V'(x) dx = ∫ U(x) dV(x). Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.
Если функция U(x) выражается через функцию V(x) по некоторой формуле
U(x) = w(V(x)), то ∫ U(x) dV(x) = ∫ w(V(x)) dV(x) = ∫ w(t) dt ,
где t = V(x) - независимая переменная, т.е. произошла замена переменной.
Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на некотором интервале и на этом интервале существует интеграл ∫ V(x)U '(x) dx .
Тогда существует интеграл ∫ U(x)V '(x) dx и справедлива формула
(1). ∫ U(x)V '(x) dx = U(x)V(x) − ∫ U '(x)V(x) dx. Формулу интегрирования по частям (1) можно представить в виде в виде
∫ U(x) dV(x) = U(x)V(x) − ∫ V(x) dU(x) .
4. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Определенный интеграл —это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.
Задача, приводящая к понятию определенного интеграла - определение площади криволинейной трапеции.
Разделим [a, b]
точками a = 
< 
< 
< ... < 
<
= b и пусть λ = max(
-
).
Прямые x =
разбивают нашу трапецию на n узких
полос. Так как функция f(x) непрерывна,
то она мало меняется при
).
≤ x ≤
и без большой погрешности ее можно
считать на промежутке [
,
]
постоянной и равной f(
),
где
есть произвольно взятая точка промежутка
[
,
].
Легко видеть, что сделанное допущение
равносильно тому, что мы принимаем
вышеупомянутые полосы за прямоугольники,
а всю нашу трапецию - за ступенчатую
фигуру
Площадь этой
ступенчатой фигуры, очевидно, равна
= 
При малом λ
является приближенным значением
интересующей нас площади F.
Поэтому по определению будем называть
площадью нашей криволинейной трапеции
предел F
= 
5. Свойства
определенного интеграла
1.
=b-a
2. Если функция
f(x) интегрируема на наибольшем из отрезков
[а, b], [а, с], [с, b], то она интегрируема на
двух отрезках, причем 
=
3. Если функция
f(x)
интегрируема на отрезке [а, b],
то функция kf(x),
где k
= const,
также интегрируема на этом отрезке,
причем 
=
4. Если
функции f(x)
и ф(х) интегрируемы на отрезке [а, b],
то их сумма и разность также интегрируемы
на этом отрезке, причем 
=
+
5. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], где a < b, и f(x) ≥ 0 для всех х на промежутке [а, b], то ≥ 0
6. Если функции
f(x),
ф(х) интегрируемы на отрезке [а, b],
где а < b,
и f(x)
≤ ф(х) для всех х на промежутке [а, b],
то
≤
7. Если f(x)
интегрируема на отрезке [а, b],
где а < b,
то функция | f(x)|
также интегрируема на [а, b],
причем 
≤ 
6. Теорема Барроу
Если 
интегрируема на отрезке [а, b]
и непрерывна в точке 
[а,
b],
то функция F(x)
= 
дифференцируема в точке
и F’
)
= 
Доказательство.
Покажем, что 
,
где 
)
= 
, 
[а,
b]
,
так как 
, то 
≤ 
≤ 
≤ 
≤ 
Откуда