Динамика Задача д1

Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 – Д1.9, табл. Д1). На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движения).

В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F, проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = или время t, движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x = f(t), где х = BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Эта задача относится ко второй основной задаче динамики точки и заключается в том, что по заданным силам, приложенным к движущейся материальной точке, массе этой точки и начальным условиям ее движения, начальному положению и начальной скорости, требуется определить закон движения этой точки.

Задачи рекомендуется решать в следующем порядке.

1. Изобразить материальную точку в текущий момент времени.

2. Изобразить на рисунке активные силы и реакции связей, приложенные к материальной точке.

3. Выбрать систему координат. Начало координат системы следует помещать в начальном положении точки и оси координат направлять так, чтобы координаты точки в текущий момент и проекции скорости ее на эти оси были положительными.

4. Составить дифференциальные уравнения движения материальной точки. При этом следует помнить, что в полученных дифференциальных уравнениях проекции всех сил необходимо выразить через те переменные, от которых эти силы зависят.

5. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения движения точки. Способ интегрирования уравнений зависит от их вида.

6. Составить начальные условия движения по тексту задачи.

7. Используя начальные условия движения, определить произвольные постоянные интегрирования.

8. Найденные произвольные постоянные подставить в результат интегрирования дифференциальных уравнений движения точки.

9. Воспользовавшись полученным уравнением движения материальной точки, определить искомые величины.

Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки на участке , а затем на участке . При решении задачи следует учесть изложенный выше план решения задач.

Пример решения задачи д1

Задача Д1 – на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учитывая начальные условия. Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить, какую скорость будет иметь груз в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая, что в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина L участка, целесообразно перейти в уравнении к переменной х учитывая, что

Дано: кг, м/с, Н, кг/м, с, Н, , ° , , с^-1, с.

Определить: , где , , .

Рисунок Д1

Рассмотрим движение шара на участке . Принимаем шар за материальную точку, покажем действующие на него силы: силу тяжести , нормальную реакцию и силу сопротивления (рис. Д1). Выбираем систему координат в соответствии с планом решения задачи. Составим дифференциальное уравнение движения шара на участке с учетом пункта 4 рекомендованного плана решения задачи.

,

, . .

Разделим переменные и проинтегрируем:

; .

; .

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия задачи: при и . При полученное выше равенство можно записать в виде . Отсюда . Тогда ; следовательно, скорость шара на участке определится из выражения . Зная время движения на участке , определим, какую скорость будет иметь шар в точке , м/с.

Рассмотрим движение шара на участке . На шар в соответсвии с условиями задачи действуют силы: сила тяжести , сила и нормальная реакция . Выбираем систему координат .

Составим дифференциальное уравнение движения шара на участке : . Разделив обе части равенства на , можно записать , или . Разделяя переменные и интегрируя , получим .

Это равенство можно представить в виде .

Разделяя переменные и интегрируя, , получим . Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия на участке : при , . Тогда при , откуда .

Аналогично при и имеем , или Подставив и в уравнения для определения скорости и закона движения на участке , получим , .

Тогда искомые скорость и расстояние от точки шара при с

м/с,

м.

Следовательно, окончательно закон движения шара на участке , скорость м/с, расстояние от точки м.