ГЛАВА 2

ГЛАВА 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ТЕХНИКИ

2.1. Системы счисления

Для представления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы.

Существующие системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. В непозиционных системах значение конкретной цифры постоянно и не зависит от ее расположения в записи числа. Примером такой системы счисления является Римская система записи числа. Например, в числе XXXVII значение цифры Х не зависит от ее местоположения в записи числа. Оно везде равно 10.

В позиционных системах счисления значимость конкретной цифры определяется ее местоположением в записи числа. Числа в таких системах счисления представляются последовательностью цифр (цифр разрядов), разделенных запятой на две группы: группу разрядов, изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную часть числа:

Здесь a0, a1, … обозначают цифры нулевого, первого и т.д. разрядов целой части числа, а-1, а- 2, … – цифры первого, второго и т.д. разрядов дробной части числа.

Цифре разряда приписан вес pk, где p – основание системы счисления; k – номер разряда, равный индексу при обозначении цифр разрядов. Так, приведенная выше запись (2.1) означает следующее количество:

2.1.1. Десятичная, двоичная, шестнадцатеричная системы

Для представления цифр разрядов используется набор из p различных символов. Так, при p = 10 (т.е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2, … , 9. При этом запись 729,32410 (здесь и далее индекс при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее:

Используя такой принцип представления чисел, выбирая различные значения основания p, можно строить разнообразные системы счисления. На практике наряду с десятичной системой широкое распространение получили двоичные и шестнадцатеричные системы счисления.

В двоичной системе счисления основание системы p = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1. Следовательно, в двоичной системе счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 11011,1012 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:

В шестнадцатеричной системе счисления основание системы p = 16 и для записи цифр разрядов используется набор из 16 символов: 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F. В нем используются десять арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу A в десятичной системе счисления соответствует 10, B –

11, C – 12, D – 13, E – 14, F – 15.

Запись AB9,C2F16 соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

На практике также используют так называемую двоично-кодированную форму представления десятичных чисел. В этой форме при записи десятичного числа каждая цифра последнего представляется в двоичной форме. Например, число 765,9310 в двоично-кодированной десятичной системе представляется в следующем виде:

Следует заметить, что, несмотря на внешнее сходство двоично-кодированного десятичного числа, содержащего в разрядах лишь цифры 0 и 1, с двоичным числом, первое не является двоичным. Например, если целую часть приведенной выше записи рассматривать как двоичное число, то оно при переводе в десятичную форму означало бы 189310, что не совпадает с целой частью исходного числа 765.

2.1.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления достигается представлением цифр шестнадцатеричного числа четырехразрядными двоичными числами. Например,

A7B,C716 1010 0111 1011, 1100 0111 2 .

При обратном переводе чисел необходимо разряды двоичного числа, отсчитывая их от запятой влево и вправо, разбить на группы по четыре разряда. Неполные крайние группы дополняются нулями. Затем каждая двоичная группа представляется цифрой шестнадцатеричной системы счисления. Например,

Рассмотрим перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Последовательно деля на 16 целую часть десятичного числа и образующиеся частные, получаем в последнем частном и остатках цифры всех разрядов шестнадцатеричного представления целой части числа. Например,

Аналогичным образом осуществляется перевод из десятичной системы счисления в двоичную:

Преобразование дробной части десятичного числа в шестнадцатеричную или двоичную системы счисления осуществляется последовательным умножением на основание системы (16 или 2) дробной части исходного десятичного числа и дробных частей образующихся произведений. При этом целые части полученных произведений будут являться цифрами новой системы счисления. Например,

2.2. Двоичная арифметика

Основной операцией, которая используется в цифровых устройствах при различных вычислениях, является операция алгебраического сложения чисел (сложения, в котором могут участвовать как положительные, так и отрицательные числа). Вычитание легко сводится к сложению путем изменения на обратный знака вычитаемого. Операции умножения и деления также выполняются с помощью операции сложения и некоторых логических действий.

2.2.1. Сложение положительных двоичных чисел

Выполнение этой операции рассмотрим на примере:

Цифры разрядов суммы формируются последовательно, начиная с младшего разряда. Цифра младшего разряда суммы образуется суммированием цифр младших разрядов слагаемых. При этом кроме цифры разряда суммы формируется цифра переноса в следующий, более старший разряд. Таким образом, в разрядах, начиная со второго, суммируются три цифры: цифры соответствующего разряда слагаемых и перенос, поступающий в данный разряд из предыдущего.

Перенос равен 1 во всех случаях, когда результат суммирования цифр в разряде равен или больше 2 (основание системы счисления). При этом в разряд суммы записывается цифра, на 2 единицы меньшая результата суммирования.

2.2.2. Алгебраическое сложение с использованием дополнительного кода

При записи кода числа знак числа представляется цифрами 0 (для положительных чисел) и 1 (для отрицательных чисел).

Для пояснения сущности излагаемого ниже метода сложения рассмотрим следующий пример. Пусть требуется сложить два десятичных числа 0 83110 и 1 37610. Так как второе слагаемое – отрицательное число, пользование обычным приемом вычитания потребовало бы последовательности действий с займами из старших разрядов. Предусматривать в цифровом устройстве дополнительно такую последовательность действий не обязательно. Достаточно отрицательное число 1 37610 предварительно преобразовать в так называемый дополнительный код следующим образом: во всех разрядах, кроме знакового, запишем дополнение до 9 к цифрам этих разрядов и затем прибавим 1 в младший разряд. Число 1 376 в дополнительном коде есть 1

624.

Далее произведем сложение по правилам сложения с передачей переносов в старшие

разряды (т.е. так, как складываются положительные числа). При сложении складываются и двоичные цифры знаковых разрядов с отбрасыванием возникающего из этого разряда переноса:

В двоичной системе счисления дополнительный код отрицательного числа формируется по следующему правилу: инвертируются (путем замены 0 на 1 и 1 на 0) цифры всех разрядов, кроме знакового, и в младший разряд прибавляется 1. Например, дополнительный код числа 1 101102 выглядит как 1 010102. Обратное преобразование из дополнительного кода в прямой код производится по тому же правилу.

Пример 2.1. Сложить положительное число 0 101102 и отрицательное число 1 011012.

Решение. Дополнительный код числа 1 011012 составит 1 10011, тогда сложение будет иметь вид

Как указывалось выше, перенос, возникающий из знакового разряда, отбрасывается. Если результат сложения есть отрицательное число, то оно оказывается в дополнительном коде.

Контрольные вопросы и задания

1.Объясните разницу позиционной и непозиционной системами счисления. Приведите примеры таких систем.

2.В чем заключается суть кодирования числа в позиционных системах счисления. Дайте объяснение понятия основание системы.

3.Какие цифры используются в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления?

4.Какие правила перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую Вы знаете?

Переведите число 3F16 в двоичную и десятичную системы счисления. Переведите число 25610 в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления. Переведите число 110100112 в десятичную и шестнадцатеричную системы счисления.

5.Поясните правила сложения положительных двоичных чисел. Сложите числа 1011 01012 и 0101

01112.

6.Что такое дополнительный код числа? Поясните правила сложения с отрицательным числом.

Переведите числа 6510 и -3110 в двоичный код и сложите их.