Тема 1.2. Елементарні перетворення лінійних моделей

ЕС за своєю природою є складною і динамічною. Інерційність ЕС призводить до запізнення в її реагуванні на зовнішні та внутрішні зміни. Часові запізнення також мають місце між моментом здійснення витрат і освоєнням основних фондів, зміною доходів споживачів, цін і попиту на продукцію.

Найкоротшим шляхом до побудови складних динамічних моделей є розробка статичних лінійних моделей, які дають моментну характеристику теперішнього або майбутнього стану системи.

Для побудови ЕММ слід визначити список основних змінних, функцію мети і систему найсуттєвіших обмежень. Якщо ФМ і обмеження є лінійними функціями, то ЕММ називається лінійною. При відсутності інших застережень будемо вважати всі моделі, які розглядаються нижче, лінійними і детермінованими.

Загальна лінійна ЕММ має вигляд:

f(x) = c_j x_j  max (1.15)

a_ij x_j  b_i, i  (1.16)

a_ij x_j  b_i, i  (1.17)

x_j  0, (1.18)

де c_j, a_ij, b_i - задані сталі величини (b_i  0);

x_j - шукане значення змінної величини;

(1.15) - функція мети;

(1.16)‑(1.18) - обмеження, що визначають множину допустимих розв’язків задачі.

Розв’язком (допустимим розв’язком) задачі (1.15‑(1.18) називається вектор X=(x₁,x₂,...,x_n), для якого виконуються умови (1.16)‑(1.18). Оптимальним буде допустимий розв’язок, при якому ФМ досягає максимального значення.

Канонічною (основною) називається така модель:

f(x) = c_j x_j  max, (1.19)

a_ij x_j = b_i, i  , (1.20)

x_j  0. (1.21)

Як загальна, так і канонічна модель можуть подаватися у векторній або матричній формах запису.

Перехід від загальної до канонічної моделі здійснюється за допомогою додаткових невід”ємних змінних S_i, U_i:

a_ij x_j + S_i = b_i, i  (1.16)

a_ij x_j - U_i = b_i, i  (1.17)

Якщо в умові певної задачі є змінна V, на яку не поширюється умова невід”ємності типу (1.21), то для зведення задачі до лінійного виду слід в систему обмежень додатково включити таку умову:

V = V⁺ - V^-, (1.22)

де V⁺; V^-  0.

В лінійній задачі можна без зміни суті задачі поміняти напрям оптимізації, тобто здійснити перехід від задачі на пошук максимуму f(x) до задачі на знаходження мінімуму f(-x), оскільки

max f(x) = ‑min f(-x)

Розглянемо типову задачу виробничого менеджменту - планування оптимального випуску продукції (див.приклад 2 теми1). Будемо вважати, що на підприємстві існує можливість виробництва певної сукупності виробів, кожний з яких користується попитом споживачів. Умови випуску продукції можна описати за допомогою обмеження на виробничі ресурси:

a_ij x_j  b_i, i  (1.23)

де i - індекс виду ресурсу;

j - індекс виду продукції;

x_j - шукана кількість випуску продукції j-го виду;

b_i - розмір ресурсного забезпечення.

Обмеження на планові значення основних техніко-економічних показників задаються у такому вигляді:

c_rj x_j  C_r, r  (1.24)

де c_rj - значення r-го показника;

C_r - плановий рівень показника.

Попит на продукцію врахуємо шляхом включеня в модель обмеження на границі випуску виробів:

d_j  x_j  D_j, j  (1.25)

де d_j, D_j - нижня, верхня межі випуску продукції j-го виду.

В якості функції мети будемо розглядати “максимум прибутку”:

f(x) = p_j x_j  max (1.26)

де p_j - прибуток на одиницю j-го виробу.

Якщо для початкового розв”язку X=(d₁; d₂;...d_n) умова (1.23) не виконується, то можна стверджувати про первісну неузгодженість умов задачі (1.23)‑(1.26). Якщо для початкового розв”язку X=(D₁; D₂;...D_n) умова (1.24) не справджується, то можна стверджувати про наявність вторинної неузгодженості умов задачі. Первісна неузгодженість викликається невідповідністю між встановленими нижніми межами випуску продукції і розміром відповідного ресурсногогo забезпечення. Вторинна неузгодженість зумовлюється невідповідністю між встановленими верхніми межами випуску продукції і плановим рівнем показників C_r.

Зведемо задачу (1.23)‑(1.26) до канонічного виду:

f(x) = p_j x_j + 0S_i + 0U_r + (0S_j + 0U_j)  max, (1.27)

a_ij x_j + S_i = b_i, i  , (1.28)

C_rj x_j - U_r = C_r, r  , (1.29)

x_j - S_j = d_j, j  , (1.30)

x_j + U_j = D_j, j  , (1.31)

x_j, S_i, U_r, S_j, U_j  0. (1.32)

Додаткова змінна S_i характеризує використання ресурсу i-го виду. Якщо для розв’язку X^o значення S_i=0, то це означає, що в умові задачі і-ий ресурс використаний повністю.

Додаткова змінна U_r характеризує розмір перевищення планового завдання по r-му показнику; S_j - розмір випуску продукції j-го виду понад нижню межу d_j; U_j - розмір відхилення від верхньої межі виробництва продукції D_j.

Якщо умови задачі не узгоджені, то це означає, що не існує таких невід’ємних додаткових змінних типу (1.32), при яких справджуються обмеження (1.28)‑(1.31). Якщо ж додаткові змінні приймають від’ємні значення, то задача (1.27)‑(1.32) виходить за межі задачі лінійного програмування. Скористаємося стандартною заміною змінних, за допомогою якої задача з неузгодженими умовами буде завжди мати допустимий розв’язок. З цією метою виконаємо такі перетворення:

S_i = S_i⁺ - S_i^-, U_r = U_r⁺ - U_r^-, (1.33)

S_j = S_j⁺ - S_j^-, U_j = U_j⁺ - U_j^-, (1.34)

де S_i⁺ - характеризує залишок ресурсу;

S_i^- - нестачу ресурсу;

U_r⁺ - розмір перевищення планового значення r - го показника;

U_r^- - розмір недосягнення планового рівня показника;

S_j⁺ - розмір випуску продукції понад нижню межу;

S_j^- - розмір недосягнення нижньої межі випуску продукції;

U_j⁺ - розмір відхилення від верхньої межі випуску;

U_j^- - розмір перевищення випуску продукції понад верхню межу.

З економічного змісту наведених змінних слідує, що вони попарно заперечують одна одну, тобто якщо одна приймає ненульове значення, то друга обов’язково нульова.

Приклад 3. Елементарні перетворення лінійної моделі

Розглянемо задачу планування випуску продукції двох видів при обмеженнях:

х₁ + 2х₂  6 на фонд часу роботи устаткування;

3х₁ + 2х₂  14 на матеріали;

3х₁ + 4х₂  12 на обсяг виробництва продукції.

В якості функції мети візьмемо максимізацію прибутку:

f(x) = 2x₁ + 3x₂  max.

Розв’язок Х^о=(3; 1) буде допустимим, бо система обмежень справджується:

1  3 + 2  1 = 5  6,

3  3 + 2  1 = 11  14,

3  3 + 4  1 = 13  12.

Зведемо задачу до канонічного виду

f(x) = 2x₁ + 3x₂ + 0  S₁ + 0  S₂ + 0  U₁  max,

x₁ + 2x₂ + S₁ = 6,

3x₁ + 2x₂ + S₂ = 14,

3x₁ + 4x₂ - U₁ = 12,

x₁0, x₂0, S₁0, S₂0, U₁0.

Підставляючи Х⁰ (3; 1) в канонічну задачу, отримаємо:

f(X^o) = 2  3 + 3  1 = 9 розмір очікуваного прибутку,

S₁ = 6-5 = 1 залишок фонду часу роботи устаткування,

S₂ = 14-11 =3 залишок матеріалів,

U₁ = 13-12=1 понадплановий обсяг виробництва продукції.

Додаткові змінні S₁, S₂ для розв’язку Х^о прийняли ненульові значення, що свідчить про неповне використання виробничих ресурсів. Додаткова змінна U₁=1, що свідчить про можливість виробництва продукції понад план.

Приклад 4.Аналіз оптимального розв’язку

За умовою попереднього прикладу знайдемо оптимальний розв’язок задачі Х*=(4;1).

Для оптимального розв’язку отримаємо:

f_max = f(X*) = 2  4+3  1 = 11 (гр. од.),

1  4 + 2  1 = 6, S₁ = 0,

3  4 + 2  1 = 14, S₂ = 0,

3  4+4  1 = 16, U₁ = 4,

тобто виробничі ресурси використовуються повністю (залишок ресурсів S₁, S₂ рівний нулеві), понад план виробляється чотири одиниці продукції (U₁ = 4), а максимально можливий прибуток від реалізації продукції може становити 11 грошових одиниць.