Тема 3.6. Моделювання виробництва як ефективної комбінації технологічних способів

Технологічний спосіб характеризує певні сталі пропорції між витратами ресурсів і випуском продукції. Технологічний спосіб може задаватися за допомогою виробничої функції, яка описує абстрактну технологію, або за допомогою відповідного вектора, який містить технологічні коефіцієнти витрат ресурсів і випуску продуктів.

Прикладом такого технологічного способу може служити спосіб розрізання стандартного матеріалу на заготовки. Витрати ресурсу при цьому будуть одиничні, бо технологічні способи розкрою формуються на одиницю ресурсу, а технологічні коефіцієнти випуску продуктів являють собою коефіцієнти a_ij - норми утворення заготовок j -го виду за і-им технологічним способом.

Метод знаходження оптимальної виробничої програми на основі математичної моделі планування виробництва як ефективної комбінації способів виробництва був розроблений Т.Купмансом у 1951 р. Розглянемо сутність цього підходу.

Всі види ресурсів, які беруть участь у виробництві, розіб’ємо на дві групи: відтворювані (кінцевий продукт) і не відтворювані.

Позначимо

i - індекс технологічного способу ;

j - індекс відтворюваного ресурсу ;

l - індекс не відтворюваного ресурсу ;

a_ji - норма утворення продукту j-го виду за i-им технологічним способом;

a_li - норма витрат ресурсу l-го виду за i-им технологічним способом;

R_в - множина відтворюваних ресурсів;

R_н - множина відтворюваних ресурсів.

Кожний технологічний спосіб описується вектором А_і, компоненти якого складаються з коефіцієнтів a_ji, a_li. В загальному випадку будемо використовувати в якості індексу ресурсу індекс r, тобто технологічні коефіцієнти будуть позначатися a_ri.

Сукупність векторів технологічних способів А_і утворює технологічну матрицю А:

. (64)

Якщо rR_в , то технологічний коефіцієнт входить у матрицю А із знаком "+", якщо rR_н - то із знаком "-".

Якщо a_ri 0, то це означає, відповідний ресурс приймає участь у виробництві (продукція випускається або ресурс витрачається).

Якщо a_ri =0, то це означає, відповідний продукт не випускається або відповідний не відтворюваний ресурс не використовується.

Таким чином за допомогою технологічної матриці А можна описати технологічні умови витрат ресурсів lR_н і технологічні умови випуску продуктів jR_в , тобто описати сутність виробництва як процесу перетворення ресурсів.

На виробництві можуть використовуватися одночасно один або декілька технологічних способів. Інтенсивність використання технологічного способу характеризується обсягом випуску продукції і витратами ресурсів. Вибір інтенсивності використання технологічного способу впливає на абсолютні значення технологічних коефіцієнтів a_ri але не впливає на їх співвідношення.

Введемо поняття базового технологічного способу. Для цього з множини відтворюваних ресурсів (продуктів) виберемо базовий вид продукту і перетворимо усі технологічні коефіцієнти на одиницю базового продукту. Надалі будемо розглядати лише базові технологічні способи.

Ефективними назвемо такі технологічні способи, які дають змогу отримати ті ж або більші обсяги випуску продуктів при менших або рівних витратах ресурсів.

Припустимо, що на виробництві випускається продукція одного виду. Перетворимо усі технологічні способи А_і таким чином, щоби випуск продукції дорівнював одиниці (a_ji=1, j=1). У цьому випадку аналіз ефективності базових технологічних способів зводиться до порівняння їх компонент a_li .

Якщо для двох технологічних способів А_і1 , А_і2 виконується така умова:

, (65)

тобто витрати ресурсів за першим технологічним способом перевищують або рівні витратам ресурсів за другим технологічним способом, то другий спосіб буде ефективним у порівнянні з першим, а перший спосіб - неефективним (А₂ А₁, А₁ А₂).

В загальному випадку технологічний спосіб А_і2 назвемо ефективним у порівнянні з А_і1 при виконанні таких умов:

, (66)

, (67)

Якщо принаймі одна з умов (66), (67) порушується, то такі способи будемо вважати рівнозначними.

Неефективні технологічні способи слід виключити із розгляду шляхом відокремлення множини ефективних способів, оскільки навіть для одного окремо взятого продукту загальне число технологічних способів може бути досить значним.

Задача аналізу технологічних способів полягає у відокремленні множини ефективних технологій і пошуку оптимальної комбінації (поєднання) інтенсивностей їх використання.

При практичному відокремленні ефективних способів слід враховувати, що кожна опукла лінійна комбінація технологічних способів може розглядатися як певна технологія.

Задача оптимального планування виробництва продукції зводиться до пошуку такої комбінації базових технологічних способів та інтенсивностей їх використання, при яких досягається максимум виробництва найбільш важливої продукції

, (68)

або максимуму прибутку

, (69)

при виконанні обмежень на структуру випуску продукції

(70)

(71)

на витрати ресурсів

(72)

і обмежень на значення змінних величин

. (73)

В задачі (68)-(73) вжиті такі позначення:

_j - коефіцієнт вагомості продукції j-го виду;

y_j - обсяг виробництва продукції;

P_j - прибуток від реалізації одиниці продукції;

x_i - інтенсивність використання i-го технологічного способу;

d_j, D_j - нижня, верхня межі попиту на продукцію;

B_l - розмір ресурсного забезпечення.

Задача планування виробництва (68)-(73) має такі властивості:

• задача завжди має розв’язок, якщо d_j 0;

• число технологічних способів у оптимальному розв’язку задачі не може перевищувати числа повністю використаних не відтворюваних ресурсів;

• число запланованих технологічних способів залежить від різноманітності технологічних коефіцієнтів a_li в базових технологічних способах А_і .

Приклад 16.

За умовою, яка наведена в таблиці відокремити неефективні технологічні способи

Вид	Технологічний спосіб
ресурсу	і=1	і=2	і=3	і=4	і=5	і=6
j=1	1	1	1	1	1	1
l=1	12	10	16	8	6	6
l=2	8	7	6	14	16	16
l=3	14	14	18	15	15	16
l=4	22	20	16	20	18	18
l=5	10	10	10	10	10	10

Побудуємо технологічну матрицю А:

Знак "-" перед коефіцієнтами a_li, lR_н вказує на використання ресурсів у виробничому процесі.

Порівнюючи усі технологічні способи між собою отримаємо:

• А₂ А₁, бо для технологічних коефіцієнтів a_lі1, a_lі2 виконуються умови (65);

• А₅ А₆, бо для технологічних коефіцієнтів a_lі5, a_lі6 виконуються умови (65);

• опукла лінійна комбінація технологічних способів А₂, А₅ є технологічним способом, причому

;

• технологічні способи А₂, А₃, А₅ є рівнозначними.

Таким чином неефективними будуть технологічні способи А₁, А₄, А₆ . Вони виключаються із подальшого розгляду.

Приклад 17.

За умовою попереднього прикладу побудувати числову модель планування виробництва продукції з урахуванням розміру попиту на продукцію 30у80 і розміру ресурсного забезпечення: В₁=700; В₂=650; В₃=800; В₄=1000; В₅=750.

Математична модель задачі планування виробництва продукції з врахуванням множини ефективних технологій набере такого виду:

Приклад 18.

Для випуску продукту використовуються ресурси трьох видів: праця, енергія, метал. На виробництві можуть використовуватися три технологічні способи. Технологічні коефіцієнти a_ri та розмір ресурсного забезпечення наведені в таблиці.

	Технологічний спосіб			Вl
	A1	A2	A3
Продукт	100	100	100	-
Праця	25	5	4	10
Енергія	50	100	125	110
Метал	9	8	0	10

Необхідно знайти оптимальну комбінацію технологічних способів та інтенсивностей їх використання.

Математична модель задачі має вид:

Оптимальним буде такий розв’язок задачі:

При цьому ресурси праця і енергія будуть використані повністю, а метал - не повністю. Залишок металу буде становити

Приклад 19.

При виробництві двох продуктів (зерно, м’ясо) використовуються ресурси двох видів (праця, земля). Задано три технологічні способи. За першим способом зерно розглядається, як проміжний продукт, який використовується для відгодівлі худоби на м’ясо. За другим способом виробляється лише зерно (спеціалізоване зернове виробництво). За третім способом виробляються зерно і м’ясо, технологічні коефіцієнти і розмір ресурсного забезпечення наведені в таблиці.

Ресурс	Технологічний спосіб			Вl
	A1	A2	A3
Зерно	-0,5	1	1	-
М’ясо	1	0	0,5	-
Праця	100	25	50	50
Земля	10	50	40	52,5

За умовою задачі необхідно встановити оптимальний за прибутком план виробництва продуктів, якщо прибуток від реалізації одиниці продукту "зерно" дорівнює прибутку від реалізації одиниці продукту "м’ясо".

Математична модель задачі має такий вид:

Оптимальним буде такий план виробництва продуктів: