Тема 3.4. Моделювання виробництва

Технологічно ефективну виробничу діяльність можна описати за допомогою функції КД.

Витрати на випуск продукту знаходяться за такими формулами:

, (19)

, (20)

де С₀ - сталі витрати, які не залежать від масштабу виробництва;

С₁ - прямі витрати на випуск продукту;

С₂ - повні витрати на випуск продукту;

q₁, q₂ - ціни ресурсів;

х₁, х₂ - рівень витрат ресурсів.

При фіксованому значенні витрат на випуск продукту (С₁=const, С₂=const) графік функції витрат називається ізокостою.

Якщо зафіксувати рівень випуску продукту, тобто вважати, що виконується умова у=const, то найпростіша модель планування виробництва набере такого вигляду:

Модель Д1

, (21)

, (22)

. (23)

Оптимальний розв’язок задачі (21)-(23) можна знайти такими методами:

• графічно - як точку дотику ізокости з ізоквантою;

• аналітично - з умови рівності кутових коефіцієнтів ізокости та ізокванти в точці дотику (k₁=k₂);

• аналітично - з умови рівності нулеві повних диференціалів функцій витрат і випуску в точці їх дотику (dc₁=dy=0);

• аналітично - як розв’язок задачі безумовної оптимізації (за функцією Лагранжа).

Розглянемо графічну інтерпретацію задачі (21)-(23). В площині х₁0х₂ проведемо ізокванту та ізокосту . Будемо переміщувати цю ізокосту у напрямі до моменту дотику з ізоквантою. Точка дотику M і буде оптимальним розв’язком задачі (рис. 7).

Рис. 7. Знаходження оптимального плану виробництва продукту

Розглянемо аналітичні методи знаходження оптимального плану виробництва.

1. Знайдемо кутові коефіцієнти ізокванти k₁ та ізокости k₂. Маємо

. (24)

З (22) знаходимо

, (25)

, (26)

Прирівнявши значення k₁=k₂ отримаємо

. (27)

Після підстановки (27) в (25) отримаємо

. (28)

З умови рівності нулю повних диференціалів функцій випуску і витрат слідує:

(29)

, (30)

З (29)-(30) отримаємо:

,

Знаходимо

(31)

і підставляючи (31) в (22) отримаємо

.

3. Побудуємо функцію Лагранжа для задачі (21)-(23):

. (32)

Необхідні умови існування екстремуму функції (32) мають такий вид:

. (33)

Розв’язок системи рівнянь (33) і буде оптимальним планом виробництва.

Якщо вибрати в якості функції мети максимум прибутку  , то задача знаходження оптимального плану виробництва набере такого виду:

Модель Д2

, (34)

, (35)

, (36)

де р - ціна продукту.

Знаходження оптимального розв’язку задачі (34)-(36) нічим не відрізняється від знаходження розв’язку задачі (21)-(23).

Приклад 5.

Модель задачі планування виробництва має такий вид:

, (37)

, (38)

, (39)

Знайдемо оптимальний план виробництва.

1. За кутовими коефіцієнтами.

Виразимо явно х₂ з (38)

, (40)

і знайдемо k₁:

. (41)

Кутовий коефіцієнт для ізокости буде дорівнювати

.

З умови k₁= k₂ слідує . Підставляючи це значення в (40) отримаємо .

Оптимальним буде такий план виробництва:

де х₁^* - витрати праці, х₂^* - витрати капіталу. Випуск продукту буде здійснюватися при цьому на одиничному рівні (у=1).

2. Знайдемо повні диференціали

,

,

Тепер , . Підставляючи х₂ в (38) отримаємо:

3. Побудуємо функцію Лагранжа для задачі (37)-(39):

.

Необхідні умови екстремуму функції Лагранжа мають вид:

.

Розділивши перші два рівняння отримаємо

Підставляючи х₂ в третє рівняння знаходимо х₁^*, а далі х₂^*.

Приклад 6.

Знайти оптимальний план виробництва для задачі (34)-(36). Підставивши (28) в (27) отримаємо:

. (42)

Необхідною умовою існування екстремуму функції (42) буде:

Розділивши ці рівняння отримаємо таку умову оптимальності розв’язку:

,

тобто оптимальним буде план виробництва, при якому гранична норма заміщення ресурсів буде пропорційна цінам ресурсів (або іншими словами - відношення граничних продуктивностей ресурсів х₁, х₂ буде дорівнювати відношенню цін на ресурси).