Тема 3.2. Аналіз неокласичної виробничої функції типу кобба-дугласа (кд)

Дослідимо характер зміни основних показників абстрактної технології, яка описується функцією КД.

1. При збільшенні витрат одного з ресурсів і сталому рівні використання іншого ресурсу середня продуктивність ресурсу (середня продуктивність праці, середня капіталовіддача) зменшується.

Оскільки середня продуктивність праці дорівнює

то при x₂=const ₁ є спадною функцією. Аналогічні міркування справедливі для середньої капіталовіддачі при x₁=const.

2. При збільшення витрат одного з ресурсів і сталому рівні використання іншого ресурсу гранична продуктивність праці, (гранична капіталовіддача) зменшується.

Оскільки гранична капіталовіддача дорівнює

то при x₁=const ₁ є спадною функцією. Аналогічно для граничної продуктивності праці.

Ця властивість називається "законом спадної граничної продуктивності ресурсів". Вона проявляється при сталій якості ресурсів і сталому рівні науково-технічного прогресу.

3. Середня продуктивність кожного з ресурсів зростає при збільшенні витрат іншого.

Справді:

4. Гранична продуктивність кожного з ресурсів зростає при збільшенні витрат іншого.

Справді:

Отже, із збільшенням витрат одного з ресурсів покращуються умови використання іншого ресурсу, що призводить до зростання середньої і граничної продуктивності ресурсів.

5. Середня продуктивність праці зростає повільніше ніж середня капіталоозброєність.

Середня продуктивність праці виражається таким показником , а капіталоозброєність - . З урахуванням цього перетворимо функцію КД до такого вигляду:

.

Оскільки а₂1 , то можна зробити висновок про те, що середня продуктивність праці зростає повільніше, ніж середня капіталоозброєність (при сталому рівні якісних характеристик ресурсів і науково-технічного прогресу).

6. При збільшенні витрат ресурсів у виробничому процесі гранична норма заміщення ресурсів зменшується.

Збільшення витрат ресурсу х₁ призводить до зменшення його граничної ефективності ₁ , тобто залучення кожної додаткової одиниці ресурсу "праця" вивільнює щораз меншу кількість ресурсу х₂ - капіталу. Цей висновок випливає із залежності (17).

При аналізі виробництва в якому вживаються ресурси, що доповнюють один одного, використовують функції виробничих витрат, тобто функції, обернені до виробничих:

,

де у - кількість випуску продукту

х - розмір витрат ресурсу на випуск продукту в кількості у.

До найбільш уживаних належать такі функції виробничих витрат:

1. Лінійна однорідна - ;

2. Лінійна неоднорідна - ;

3. Степенева - .

До основних характеристик функції витрат належать такі:

• середні витрати ресурсу - ;

• граничні витрати ресурсу - .

Лінійна однорідна функція витрат характеризує виробничі процеси із сталою ефективністю витрат (середні витрати = граничним витратам = а).

Лінійна неоднорідна функція витрат включає в себе дві складові, одна з яких пропорційно залежить від обсягу виробництва продукту, друга - є сталою величиною. Граничні витрати для лінійної неоднорідної функції витрат дорівнюють b=const, а середні витрати - є спадною нелінійною функцією, яка асимптотично наближається до лінії граничних витрат.

Якщо для нелінійної функції виробничих витрат виконується умова , то вона характеризує позитивний економічний ефект від концентрації виробництва, тобто середні та граничні витрати є спадними функціями, а значить ефективність витрат зростає.

Якщо для нелінійної функції виробничих витрат виконується умова , то вона характеризує негативний економічний ефект від розширення виробництва зменшується. Така ситуація властива підприємствам добувної промисловості.

Функції із змінної ефективністю витрат характеризують типову залежність між витратами ресурсів і випуску продукту. При збільшенні випуску продукту ефективність витрат спочатку зростає (позитивний ефект концентрації виробництва), а після досягнення певного рівня виробництва - ефективність починає зменшуватися.

Приклад 2.

Розглянемо виробничу функцію .

Основні показники виробничого процесу, який описується цією функцією, мають такий вид:

.

При збільшенні витрат праці та сталих витратах капіталу середня продуктивність праці ₁ буде зменшуватись:

.

При збільшенні витрат праці та сталих витратах капіталу гранична продуктивність праці буде зменшуватися:

.

Якщо збільшувати витрати капіталу, то середня продуктивність праці зростатиме:

.

Середня продуктивність праці в умовах сталої якості ресурсів і сталого рівня науково-технічного прогресу зростає повільніше, ніж середня капіталоозброєність:

.

Якщо середня капіталоозброєність зросте на 10% (в 1,1 раза), то середня продуктивність праці зросте на таку величину:

,

тобто на 2,4%.

Знайдемо граничну норму заміщення ресурсу праця за формулою (17):

.

Покладемо х₁^=16; х₂^=1; х₁^=64; х₂^=1/64; і обчислимо значення граничної норми заміщення праці в цих двох точках (з урахуванням сталого випуску продукції у =8):

Як бачимо, залучення додаткових витрат праці призводить до зменшення кількості заміщення капіталу.

Приклад 3.

Дослідити функції виробничих витрат:

1. Функція х=2у є однорідною лінійною із сталою ефективністю витрат. Середні витрати еквівалентні граничним і дорівнюють 2 од., тобто на кожну одиницю продукту витрачається дві одиниці ресурсу.

2. Функція х=2у+3 є неоднорідною лінійною. Граничні витрати дорівнюють 2 од., середні - є спадною функцією 2+3/у.

3. Функція х=у^1/0,5=у² є степеневою. Оскільки dx²/dy²=20 , то ефективність витрат при збільшенні випуску продукту зменшується.