2.3.2. Моделювання задачі на розкрій декількох видів матеріалу в умовах ресурсної обмеженості

Припустимо, що заготовки деталей виготовляються з декількох видів матеріалу довжиною L_g , де g - індекс виду матеріального ресурсу. Запаси матеріалу є обмеженими, тобто не перевищують кількості B_g. Планова потреба в заготовках становить величину Ai.

В загальному випадку економіко-математична модель задачі на розкрій набере такого вигляду:

, (74)

, (75)

, (76)

, (77)

, (78)

, (79)

, (80)

де x_jg - шукана кількість одиниць матеріалу g -го виду, яка розрізається за j-им технологічним способом;

c_g - ціна одиниці матеріалу g -го виду;

z_i - розрахункова чисельність заготовок i-го виду;

u_i - понадпланова чисельність заготовок i-го виду;

B_g - запас матеріалу g-го виду.

В моделі (74)-(80) функція мети f₄(x) описує прямі відходи матеріалу, f₅(x) - сумарну вартість матеріалу, який витрачається на виготовлення заготовок, f₆(x) - суму прямих відходів матеріалу і довжин заготовок, які перебуватимуть в запасі.

Якщо на заготовки накладається умова комплектності їх виробництва, то модель задачі перетвориться до такого вигляду:

, (81)

, (82)

, (83)

, (84)

, (85)

де _i - коефіцієнти пропорційності (комплектності) виробництва заготовок.

Індекс i в функції мети f₇(z) з урахуванням обмеження (83) може набирати будь якого значення в межах його зміни . Зрозуміло, що в такій постановці задачі на розкрій обмеження на кількість виготовлення заготовок не мають суттєвого значення, оскільки функція мети забезпечує отримання максимальної кількості комплектів заготовок.

Приклад 5.

За даними прикладу 4 з урахуванням можливості використання матеріалу довжиною L₂ =150 см, а також обмеженості ресурсів (B₁ =250 од., B₂ =75 од.), знайти оптимальний за кількістю комплектів заготовок план розкрою матеріалів. Умова комплектності заготовок - 3 : 2 : 4.

Попередньо встановимо варіанти технологічних способів розкрою матеріалу довжиною L₂ =150 см.

Таблиця 3.

Варіанти технологічних способів розкрою металевого прутка, L₂=150 см

j i	x12	x22	x32	x42	x52
l1=80 см	1	1	-	-	-
l2=60 см	1	-	2	1	-
l3=50 см	-	1	-	1	3
Залишок, см	10	20	30	40	0

Числова модель задачі має такий вид:

,

,

Умова комплектності заготовок трансформується до такого виду:

,

звідки

.

Тема 2.4. Оптимізація перевезення матеріалів і готової продукції

2.4.1.Оптимізація перевезення матеріальних ресурсів

Якщо організація складається з територіально віддалених пунктів виробництва і споживання однорідного продукту, то перед нею постає задача формування такого плану перевезення матеріалу, при якому транспорті витрати на поставку продукції були би мінімальними при повному використанні можливостей виробників і задоволенні потреб споживачів.

Задача перевезення однорідного продукту (транспортна задача-Т3) з m пунктів виробництва (постачання) в n пунктів споживання описується за допомогою лінійної моделі такого виду:

, (86)

, (87)

, (88)

, (89)

де x_ij - шукана кількість одиниць матеріалу, яка підлягає перевезенню з i-го пункта в j-ий;

c_ij - витрати на перевезення одиниці матеріалу;

A_i - виробничі можливості i-го постачальника;

B_j - розмір потреби j-го споживача в матеріальному ресурсі.

Якщо для задачі(86) - (89) виконується умова

, (90)

то модель називається замкненою, якщо не виконується - то відкритою.

Оскільки кожна транспортна задача, для якої виконується умова (90), має оптимальний розв’язок, то відкриту задачу слід звести до замкненого виду шляхом введення в умову задачі додаткового (фіктивного) пункту виробництва чи споживання продукту. При цьому розмір виробництва (потреби) ресурсу фіктивним пунктом має відповідати розміру розбалансованості умови (90), а витрати на транспортування ресурсу з цього пункту виробництва до усіх пунктів споживання приймаються рівними нулеві.

Для знаходження оптимального розв’язку транспортної задачі (86) - (89) можна скористатися симплексним методом, але цей шлях є неефективним. Існують спеціальні методи знаходження оптимального розв’язку ТЗ зокрема модифікований розподільний метод (метод потенціалів).

Кожна ТЗ, як задача лінійного програмування, зв’язана з відповідною двоїстою задачею такого виду:

z= , (91)

, (92)

, (93)

де U_i - двоїсті змінні, які відповідають обмеженням (2);

V_j-двоїсті змінні, які відповідають обмеженням (3).

Розв’язки прямої та двоїстої задач зв’язані між собою такими співвідношеннями:

для ,

для ,

де - оптимальний розв’язок прямої задачі (86)-(89);

- оптимальний розв’язок двоїстої задачі (91)-(93).

Числа називають потенціалами виробників і споживачів відповідно.

Приклад 6.

Задано два пункти виробництва і три пункти споживання продукту. Потужності виробників, потреби споживачів, а також витрати на перевезення одиниці продукту наведені в табл.4.

Таблиця 4.

	В1=50	В2=120	В3=80	Ui
А1=100	2 50	3	5 50	0
А2=150	4	2 120	3 30	-2
Vj	2	4	5

Модель транспортної задачі буде мати такий вигляд:

2x₁₁+3x₁₂+5x₁₃+4x₂₁+2x₂₂+3x₂₃ min ,

U₁ x₁₁+x₁₂+x₁₃=100 ,

U₂ x₂₁+x₂₂+x₂₃=150 ,

V₁ x₁₁+x₂₁=50 ,

V₂ x₁₂+x₂₂=120 ,

V₃ x₁₃+x₂₃=80 ,

Ця задача є замкненою, бо виконується умова (90):

100+150=50+120+80 .

Опорний розв’язок задачі знайдемо методом подвійної переваги. Першочергово поставка ресурсу здійснюється в клітини, які позначені двома значками переваги V (W), далі - в клітини, які позначені одним значком переваги V, тобто

x₁₁=50, x₂₂=120, x₂₃=30 .

Залишилося заповнити одну клітину

x₁₃=50 .

Цей розв’язок

x_ij=

буде опорним, оскільки число базисних елементів (m+n-1=2+3-1), дорівнює числу заповнених клітин(4).

Побудуємо двоїсту задачу

100U₁+150U₂+50V₁+120V₂+80V₃ max ,

,

,

,

,

,

,

,

і перевіримо, чи виконується умова оптимальності для опорного розв’язку.

З цією метою розрахуємо потенціали виробників і споживачів, поклавши U₁=0. Для заповнених клітин, тобто для клітин в яких повинні виконуватися умови:

U₁+V₁=2 , V₁=2 ,

U₁+V₃=5 , V₃=5 ,

U₂+V₃=3 , U₂= -2 ,

U₂+V₂=2 , V₂=4 .

Переконаємося ,чи виконується умова оптимальності для вільних клітин ( ):

4 + 0 = 4 > 3 , умова не виконується,

2 - 2 = 0 < 4 , умова виконується.

Оскільки умова оптимальності не виконується, то перерозподіляємо поставки. Для цього будуємо з вершинами в клітинах:

Максимальний розмір переміщення ресурсу визначається з умови:

Новий план перевезення матеріалу наведений в табл.5.

j i	В1=50	В2=120	В3=80	Ui
А1=100	2 50	3 50	5	0
А2=150	4	2 70	3 80	-1
Vj	2	3	4

Для цього розв’язку умови оптимальності виконуються, отже розв’язок

X_ij^*=

є оптимальним, а витрати

(гр.од.)

є мінімальними.

Якщо порівняти ці витрати з витратами на перевезення матеріалу для початкового опорного розв’язку

(гр.од.),

то можна пересвідчитися, що ефект від оптимізації становить:

абсолютний розмір економії

630-680=-50(гр.од.),

відносний розмір економії

= =0,0735 ,(7,35%).