3. Логика высказываний. Нечёткие множества.

Отрицание высказывания A означает, что A не произойдёт и обозначается . Конъюнкция высказываний A и B означает, что произойдёт A и B и обозначается A B. Дизъюнкция высказываний A и B означает, что произойдёт A или B и обозначается A B. Строгая дизъюнкция высказываний A и B означает, что произойдёт или A, или B и обозначается A∆ B.

Двухместная логическая операция, соответствующая обороту “если…, то…”, посредством которого образуются условные предложения, называется импликацией. Высказывание “если A, то B” записывается в виде .

Логический оператор □ выражает необходимость, а ◊ - возможность.

Для любого чёткого множества A и любого элемента x можно определить характеристическую функцию:

(3.1)

Например, если А – множество букв в слове “глагол” (А: ), то для любой буквы кириллицы легко найти характеристическую функцию. Так, так как буква “л” входит в слово, а , так как буква “в” в него не входит.

Множество называется нечётким, если нельзя точно определить, принадлежат ли ему элементы. Нечёткость множества тесно связана с понятием лингвистической переменной (далее – ЛП), значениями которой являются слова или предложения. Например, во фразе “Миша вернётся около десяти часов вечера” ЛП “около десяти часов вечера” принимает значения из множества [21-30; 22-30]: неясно, когда именно вернётся Миша. Во фразе “Её жених – молод” ЛП “молод” принимает значения на огромном интервале [16; 40].

В случае нечёткого множества характеристическая функция, называемая функцией принадлежности, может принимать несколько значений, принадлежащих интервалу [0,1]. Носителем нечёткого множества Supp A называется множество элементов, для которых μ _A (x) > 0. Если при каком-то значении x μ _A (x) = 1, то множество называют нормальным, а если это – неверно, то – субнормальным.

Если максимальное значение μ _A (x) достигается в одной точке, то функция μ _A (x) называется унимодальной.

Операции конъюнкции и дизъюнкции для нечётких множеств определяется совсем иначе, чем для чётких множеств:

, (3.2) Операция отрицания нечёткого множества вводится аналогично вероятности отрицания высказывания (2.2):

(3.3)

Индексы референции, которыми могут быть снабжены личные, возвратные местоимения и одушевлённые подлежащие, маркируют актанта – участника ситуации. В случае нечёткого высказывания актант может быть определён несколькими способами, при этом индексы разделяются знаком /. Для отрицания используется знак *.

Пример 1. Даны следующие простые высказывания:

A₁ – “Существительное относится к женскому роду”,

A₂ – “Существительное стоит в родительном падеже”,

A₃ – “Существительное стоит во множественном числе”.

Описать события с помощью высказываний A_i, i =1,2,3:

a) B₁ – “Существительное женского рода стоит в родительном падеже и во множественном числе”.

b) B₂ – “Существительное женского рода стоит в родительном падеже или во множественном числе”.

c) B₃ – “Существительное или относится к женскому роду, или стоит в родительном падеже, но не во множественном числе”.

d) B₄ – “Существительное не относится к женскому роду или стоит не в родительном падеже, но во множественном числе”.

a) Все высказывания верны, поэтому:

b) Верно первое высказывание, а также второе или третье:

c) Либо верно первое высказывание, либо второе и не третье, здесь строгая дизъюнкция:

d) Первое высказывание неверно либо второе неверно, а верно третье:

Пример 2. Дано сложное высказывание: “Если пойдёт дождь, то останусь дома, а уж если останусь дома, дочитаю книгу, но телевизор не включу”. Введём простые высказывания: A₁ – “Пойдёт дождь”, A₂ – “Останусь дома”, A₃ – “Дочитаю книгу”, A₄ – “Включу телевизор”. Построить логическую схему предложения.

Из события A₁ вытекает высказывание A₂ , а из него A₃ и не A₄. Поэтому логическая схема: .

Пример 3. Дано сложное высказывание: “Если нужно написать отчёт, то займусь этим на выходных или, возможно, отложу на следующую неделю”. Введём простые высказывания: A₁ - “Написать отчёт”, A₂ - “Займусь этим на выходных”, A₃ - “Отложу на следующую неделю”. Построить логическую схему предложения.

Из необходимости высказывания A₁ следует или высказывание A₂ или возможность высказывания A₃ . Логическая схема: □

Пример 4. Слово содержит несколько букв. Найти функцию принадлежности числа букв слова. Построить дополнение множества. Проверить нормальность и унимодальность множеств, найти их носители.

В слове никак не может быть одна буква, а также более пяти букв. В остальных случаях функции принадлежности вычисляется как вероятность, вычисляемая каждым решающим задание субъективно. Определим универсальное множество как U = {1,2,…,8}. Запишем решение в виде таблицы:

x	1	2	3	4	5	6	7	8
	0	0,8	0,7	0,5	0,1	0	0	0

Supp A = {2, 3, 4, 5}. Множество является субнормальным, так как не содержит 1, и унимодальным, так как максимальное значение 0,8 соответствует одному значению x.

Теперь найдём функцию принадлежности для дополнения множества :

x	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	0,2	0,3	0,5	0,9	1	1	1

Supp = U. Множество является нормальным, так как содержит 1, но не унимодальным, так как максимальное значение 1 соответствует нескольким x.

Пример 5. В шестисложной русской фразе есть несколько французских (множество A) и английских (множество B) заимствований, причём первых – больше. Найти функции принадлежности числа слов множеств A, B, .

Число английских заимствований не превосходит 3, иначе оно может оказаться больше числа французских заимствований. Поэтому для множеств A и B можно определить функции принадлежности так:

x	1	2	3	4	5	6
	0	0,8	0,7	0,6	0,3	0,1

x	1	2	3	4	5	6
	0	0,6	0,8	0	0	0

Некоторые слова могут быть заимствованиями из одного из двух языков – английского или французского, это приводит к дизъюнкции множеств (конъюнкция в данном случае невозможна). По формуле (3.2) вычисляем значение функции принадлежности для каждого из значений x:

Max (0; 0) = 0, max (0,8; 0,6) = 0,8, max (0,7; 0,8) = 0,8,

max (0,6; 0) = 0,6, max (0,3; 0) = 0,3, max (0,1; 0) = 0,1.

Теперь запишем эти результаты в виде таблицы:

x	1	2	3	4	5	6
	0	0,8	0,8	0,6	0,3	0,1

Пример 6. Найти носитель нечёткого высказывания: “Она вряд ли успеет прочесть книгу”.

Носителем события является интервал, для которого функция принадлежности положительна – то есть, когда существует хоть малейшая вероятность события. В данном случае носитель можно оценить интервалом: [0; 0,4].

Пример 7. Дана фраза: “Коля сказал, что он немного опоздает, а Слава придёт вовремя”. Расставить актантные индексы.

В первой фразе Коля маркируется как i, а местоимение “он”, могущее относиться к Коле или кому-то другому, как i/j. Слава – новый субъект, которому придаётся новый индекс k. Тот, кто опоздает, не может быть Славой, так как Слава придёт вовремя, поэтому местоимение “он” также снабжается индексом *k. Таким образом, разметка всей фразы выглядит так: “Коля _i сказал, что он _{i/ j/ *k} немного опоздает, а Слава _k придёт вовремя”.

Примеры для самостоятельного решения.

3.1. Даны простые высказывания: A₁ – “Предложение является простым”, A₂ – “Предложение осложнено причастным оборотом”, A₃ – “Предложение осложнено деепричастным оборотом”, A₄ – “Предложение осложнено сравнительным оборотом”

Описать события с помощью высказываний A_i, i =1,2,3,4:

a) B₁ – “Предложение является простым, осложнённым деепричастным или сравнительным оборотами”

b) B₂ – “Предложение является простым, осложнённым причастным и деепричастным, но не сравнительным оборотами”

c) B₃ – “Предложение является простым, осложнённым или причастным, или сравнительным оборотом”

d) B₄ – “Предложение является или простым, или осложнённым одним из трёх видов оборотов: причастным или деепричастным или сравнительным”

e) B₅ – “Предложение является простым, осложнённым хотя бы одним оборотом: причастным, деепричастным или сравнительным”

3.2. Дано сложное высказывание: “Если сдам экзамен, отпраздную успех в кафе, а если не сдам экзамен, пойду в библиотеку за учебниками”. Введём простые высказывания: - “Сдам экзамен”, - “Отпраздную успех в кафе”, - “Пойду в библиотеку за учебниками”. Построить логическую схему предложения.

3.3. Дано сложное высказывание: “Если друг не придёт в гости и мне не позвонят с работы, то либо схожу в музей, либо прогуляюсь по городу”. Введём элементарные высказывания: A₁ – “Друг придёт в гости”, A₂ – “Мне позвонят с работы”, A₃ – “Схожу в музей”, A₄ - “Прогуляюсь по городу”. Построить логическую схему предложения.

3.4. Дано сложное высказывание: “Необходимо запомнить этот афоризм или записать его в блокнот, но не путать его с похожими афоризмами”. Введём простые высказывания: A₁ –“Запомнить этот афоризм”, A₂ – “Записать его в блокнот”, A₃ – “Перепутать его с похожими афоризмами”. Построить логическую схему предложения.

3.5. Дано сложное высказывание: “Он может перепутать аудитории или забыть подготовить презентацию, но через полчаса он должен прийти”. Введём простые высказывания: A₁ – “Он путает аудитории”, A₂ – “Он помнит о подготовке презентации”, A₃ – “Он приходит через полчаса”. Построить логическую схему предложения.

3.6. Введя простые высказывания о взаимном расположении корня и аффикса, описать префикс, суффикс, инфикс и циркумфикс.

3.7. Введя простые высказывания о глагольном времени в простом предложении, описать согласование времён в английском и французском языках.

3.8. Введя простые высказывания о фонетической структуре слова, описать появление на конце слова буквы “ъ” в русской дореволюционной орфографии.

3.9. Введя простые высказывания о чередовании ударных и безударных слогов, описать дольник в русской поэзии.

3.10. Пусть A – множество слов китайского языка, B – множество слов монгольского языка, C – множество слов бирманского языка, а x означает тон. Найти характеристические функции .

3.11. Пусть x означает артикль, изменяющийся по роду, числу и падежу. Придумать такое языковое множество A, что .

3.12. Дана фраза из СМС, в спешке написанная с сокращениями: “Купи см., прих. домой, пр. с тел.”. Найти возможные варианты прочтения этой фразы и функцию принадлежности этих вариантов.

3.13. Дана фраза из СМС, в спешке написанная с сокращениями: “В ср. сл. кон., нет уч.” Найти возможные варианты прочтения этой фразы и функцию принадлежности этих вариантов.

3.14. У слова много значений. Найти функцию принадлежности числа значений слова. Проверить нормальность и унимодальность множества.

3.15. В шестисловной японской фразе почти не встречается слов, записанных катаканой. Найти функцию принадлежности числа букв слова. Построить дополнение множества.

3.16. В пятисловной фразе примерно одинаковое число неизменяемых (множество A) и двухсложных слов (множество B), одно же слово изменяемо. Найти функции принадлежности числа слов множеств A, B, , . Проверить нормальность и унимодальность множеств.

3.17. Среди шести языков не менее половины относится к одному ареалу (множество A), а несколько языков обладают сходной типологией (множество B). Найти функции принадлежности числа языков множеств A, B, , .

3.18. Среди семи письменностей меньшинство является фонетическими (множество A), а большинство в настоящее время уже не используется (множество B). Найти функции принадлежности числа письменностей множеств A, B, , .

3.19. Придумать нечёткое множество A, построить его дополнение и проверить выполнение условий, присущих чётким множествам: = Ø, , где U – универсальное множество.

3.20. Найти носители нечётких высказываний: “Лёша, вероятно, успеет на матч, Серёжа из-за этих пробок вряд ли успеет, Вадим – возможно, тоже успеет, а насчёт Юры трудно сказать: 50 на 50!”

3.21. Придумать такое нечёткое высказывание A, что Supp A = [0,1; 0,3] [0,7, 0,9].

3.22. Дана фраза: “У моей подруги есть знакомая-врач, а сестра её – парикмахер”. Расставить индексы референции.

3.23. Дана фраза: “Сергей сослался на него в своей статье, опубликованной в его журнале”. Расставить индексы референции.

3.24. Дана фраза: “Он сказал, что сосед его крепко спит, а друг его, наверно, уже ушёл”. Расставить индексы референции.