- •1.1 Предмет механики жидкости и ее задачи 4
- •1.2. Математическое моделирование 7
- •3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение 56
- •Введение
- •1.1 Предмет механики жидкости и ее задачи
- •1.2. Математическое моделирование
- •2. Основные понятия и определения
- •2.1 Начальные понятия, свойства жидкости
- •Гипотеза сплошности
- •2.2.1. Понятия: плотность, удельный вес, модуль упругости
- •2.3. Силы, действующие в жидкости
- •2.3.1. Объемные (массовые) силы
- •Поверхностные силы
- •2.3.2.1. Касательные силы
- •2.3.2.2. Нормальные силы
- •2.3.2.2.1. Давление
- •Нормальные силы, обусловленные изменением скорости течения
- •Тензор напряжения поверхностной силы
- •3. Векторы и тензоры в гидродинамике
- •3.1. Тензоры
- •3.1.1. Правила действия над тензорами
- •1. Операция транспонирования тензора
- •2. Симметричный тензор
- •4. Умножение тензора на скаляр
- •5. Сложение тензоров
- •6. Умножение вектора на тензор
- •7. Единичный тензор
- •3.2. Гидромеханический смысл некоторых операций векторного анализа
- •3.2.1. Div (дивергенция скорости)
- •3.2.2. Grad р (градиент давления)
- •3.2.3 Rot (ротор скорости)
- •3.3. Символическое исчисление
- •3.3.1. Оператор Гамильтона
- •3.3.2. Правила символического исчисления
- •3.3.3. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.3.4. Оператор Лапласса (лапласиан)
- •3.4. Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат
- •3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.5. Преобразование объемных интегралов в поверхностные
- •3.6. Дифференциальные тензоры
- •3.7. Безвихревые и соленоидальные векторные поля
- •4. Основные уравнения движения жидкости
- •4.1. Способы описания движения жидкости
- •1. Подход Лагранжа
- •2. Подход (способ) Эйлера
- •4.2. Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)
- •4.3. Виды движения жидкости
- •4.3.1. Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости
- •1. Случай установившегося движения.
- •2. Случай неустановившегося движения
- •4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы
- •4.4. Субстанциональное изменение количественного параметра конечной массы вещества
- •4.5. Интегральная запись законов сохранения материи, количества движения и момента количества движения
- •Закон сохранения материи
- •2. Закон количества движения
- •3. Закон моментов количества движения
- •4.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения материи (Уравнение сплошности или неразрывности)
2. Основные понятия и определения
2.1 Начальные понятия, свойства жидкости
Математики отличается от других специалистов логичностью рассуждений и строгостью доказательств.
Постараемся с учетом этого рассмотреть основы механики жидкости, проследить логику ее развития и введения понятий (гипотез)
При изучении курса будем вводить понятия и гипотезы по мере их усложнения и необходимости.
Первоначально рассмотрим жидкость, исходя из молекулярных представлений о строении материи.
Известно, что все тела состоят из молекул (мельчайших частиц), которые взаимодействуют между собой.
Твердые тела сохраняют свою форму из–за сильного взаимодействия (притяжения) молекул и жестких связей между ними, не позволяющих молекулам свободно перемещаться по объему, занимаемому телом.
В жидкостях силы притяжения во много раз слабее, но еще достаточны для объединения молекул в некие ансамбли (частицы).
Слабость связей между отдельными молекулами (частицами) позволяет им перескакивать с одного места на другое, что и обуславливает текучесть жидкости.
Поэтому жидкость из-за действующих на нее сил не может сохранять собственную форму, и, сохраняя лишь объем, принимать форму занимаемого ею сосуда.
Примечание:
Жидкость и твердое тело тоже меняют свой объем при изменении давления. Однако (для сравнения) при t=20° C изменение объема газа (воздуха) примерно в 14 000 раз превосходит изменение объема воды (жидкости) при равном увеличении давления.
Известны вещества, называемые газами. Слово «газ» (от греческого – хаос) было введено Ван-Гельмонотом для определения вещества, способного занимать любой, предоставленный ему объем. Эта способность объясняется крайне слабыми силами взаимного притяжения молекул, благодаря чему они могут свободно перемещаться относительно друг друга.
Внимание :
Таким образом жидкости отличаются от других тел свойством - текучестью.
Назовем меру легкости, с которой течет жидкость - вязкостью.
Поместим «газ» в резиновую оболочку. Простым сдавливанием ее убеждаемся, что на руку действует некая сила сопротивления, стремящаяся вернуть оболочке первоначальную форму.
Назовем силу сопротивления – давлением.
Численно давление равно силе сопротивления. Будем считать, что давление направлено внутрь интересующего нас объема.
Важное замечание:
Известно, что при нагревании (или охлаждении) вес тела изменяет свой объем. При этом газ во много раз больше изменяет свой объем, чем жидкость.
Вот эта особенность газа и обуславливает необходимость привлечения понятий термодинамики (теплообмена) при изучении их движения.
Теплообмен вообще говоря сказывается и на движении жидких сред. Известны, так называемые, конвективные потоки жидкости при ее нагревании, т.е. действие теплообмена в жидкости при малом изменении ее объема проявляется косвенным образом, посредством влияния температуры на механические свойства самой жидкости.
Однако в нашем курсе «чистой» гидромеханики этими явлениями (теплообмена) для жидкости будем пренебрегать, т.к. их изучением занимается теория теплообмена.
Как разделить между собой понятия газ и жидкость, учитывая, что те и другие в большей или меньшей степени обладают одинаковыми свойствами?
В связи с невозможностью такого разделения, мы будем пользоваться терминами:
«капельная жидкость» (малосжимаемая жидкость)
«сжимаемая жидкость» (газ)
«жидкость», применяя последний в широком смысле слова, охватывающем как капельную жидкость, так и газ (т.е. под жидкостью будем понимать всякую среду, обладающую свойством текучести).