4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости

Проведем формальные рассуждения.

В общем случае движения жидкости имеются переменные во времени, которые рассматриваются как параметры жидкости.

Изменение какого-либо параметра можно представить как следствие, вытекающее из рассмотрения его в смежной точке пространства и в смежный момент времени.

Поэтому полное приращение d… определяется суммой двух приращений: временного d_t … и пространственного d_r…

Приращение во времени при фиксированных координатах определяется символическим равенством:

Пространственное изменение скалярного или векторного параметров на основании формул (3.37) и (3.44) в данный момент времени находится с помощью зависимости

суммируя оба приращения и деля на элемент времени d_t, приходим к соотношению

в котором есть скорость перехода от одной точки пространства к другой, т.е. скорость слежения за различными точками пространства.

Если объектом слежения выбрать какую-то частицу жидкости, тогда скорость слежения совпадает со скоростью движения этой частицы , поскольку перенос взгляда из одной точки пространства в другую будет следовать за перемещением этой массы (частички) жидкости. В этом случае производная обращается в субстанционарную производную

(4.17)

Замечание:

Т.о. субстанционарная производная есть понятие не только математическое, но и физическое. Оно связано с изучением изменения некоторого параметра во времени при движении одной и той же массы жидкости.

4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы

Рассмотрим в качестве параметра скорость жидкой частицы .

Воспользуемся формулой (4.17) и в результате получим векторную форму записи ускорения жидкой частицы.

(4.18)

где - называется субстанциональным (полным) ускорением;

- локальным ускорением;

( ) - конвекторным ускорением.

Замечание:

1. Локальное ускорение определяется изменением вектора скорости в данной точке пространства.

2. Конвективное ускорение возникает вследствие того, что частица жидкости в процессе движения перемещается из данной точки в другую, в которой вектор скорости отличается от первоначального.

Из этого следует, что:

1. Если поле вектора однородно (т.е. вся жидкость перемещается поступательно как твердое тело), то конвективное ускорение равно нулю и все ускорение сводится к локальному, одинаковому во всех точках пространства, занятого движущейся жидкостью.

2. Если движение жидкости является установившимся (т.е. скорость жидкости в каждой точке не меняется с течением времени), то локальное ускорение отсутствует, а имеется лишь конвективное.

Перейдем от векторной формы записи ускорения к координатной. В результате с учетом (3.36) получим:

(4.19)

Встречается и другая векторная запись ускорения. Перепишем (4.19), заменив порядок сомножителей.

Используя формулы произведения тензора на вектор (3.4) и (3.7) и выражение дифференциального тензора векторного поля (3.42) и (3.45), можно представить вектор ускорения в следующей компактной форме:

(4.20)

где

Для исследования (изучения) вихревого движения выражение (4.20) для ускорения следует преобразовать, вводя компоненты вихря.

В соответствии с равенством (3.11) разложим тензор T_u* на симметричную и антисимметричную часть

(4.21)

причем, как это следует из (4.8)

из выражения (3.34) следует, что:

Поэтому тензор А_u можем переписать в следующем виде:

(4.22)

Умножим дифференциальный тензор T_u* поля вектора на произвольный вектор с проекциями N_x, N_y, N_z. Очевидно, что

(4.23)

Представим произведение А_u в развернутом виде. В соответствии с (3.3) и (4.22) можем записать:

(4.24)

Этот же вектор А_u представим в другой форме. Для этого запишем (определим) векторное произведение rot на

(4.25)

Сравнивая выражения (4.24) и (4.25), убеждаемся в справедливости тождества

откуда

прямо следует формула Гельмгольца

(4.26)

Рассмотрим произведение дифференциального тензора поля вектора на тот же вектор .

Представим в развернутом виде одну из проекций вектора T_u* , например на ось О_x. В соответствии с (3.46) с (3.33) получим:

(4.27)

Кроме этого, как видно из формулы (4.25),

следовательно,

(4.28)

Аналогичные равенства можно записать и для остальных проекций, откуда следует справедливость векторного равенства

(4.29)

называемого формулой Ламба-Громски

Т.о. из формул (4.29) и (4.20) находим выражение для ускорения в форме Ламба-Громски, которое широко используется при анализе уравнений гидродинамики

(4.30)

Замечание:

Такая форма записи ускорения указывает на наличие или отсутствие вихрей и позволяет установить различие в особенностях вихревого и безвихревого движений жидкости.