4.3. Виды движения жидкости
Представим себе, что мы последовательно фотографируем поток жидкости в некоторой области в различные моменты времени.
Если после проявления фотографий будет обнаружено, что они ничем не отличаются одна от другой, то имеем установившееся движение. Т.о. в установившемся времени в каждой точке пространства все параметры (такие как давление, скорость, температура, плотность и др.) движущейся жидкости остаются неизменными.
Если фотографии будут отличаться друг от друга, то имеем неустановившееся движение. При таком движении все параметры жидкости меняются не только от одной точки пространства к другой, но и в каждой точке с течением времени.
Замечание:
Установившееся движение – это предельный случай неустановившегося. Т.е. такое движение к которому придет неустановившееся движение если прекратить изменение внешних воздействий.
4.3.1. Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости
Рассмотрим математические аспекты изучения установившихся и неустановившихся движений.
Пусть нас интересует некоторый параметр φ, характеризующий элементарный объем жидкости ΔV (это может быть давление, температура, скорость и т.д.).
Подсчитаем изменение этого параметра за малый промежуток времени Δt.
В соответствии с общими правилами дифференциального исчисления можем записать равенство
(4.11)
в котором символ D употреблен вместо обычно применяемого знака дифференциала d, для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что производная относится к одной и той же массе жидкости, заключенной внутри объема ΔV.
Такая производная называется субстанциональной производной (от слова субстанция – вещество). Ее еще называют либо полной производной, либо вещественной, либо эйлеровой.
Для установившегося и неустановившегося движения эта производная вычисляется различным образом.
1. Случай установившегося движения.
Пусть за время Δt
частица жидкости переместится вдоль
своей траектории на элемент длины Δ
и попадет в другую точку пространства,
где параметр φ отличается от исходного
значения на величину Δφ.
Замечание:
По определению при установившемся течении в каждой отдельно взятой точке ни один параметр не меняет своего значения с течением времени. Поэтому приращение Δφ будем рассматривать просто как следствие различных положений объема ΔV в пространстве вне зависимости от времени его движения.
Т.к. одна точка от другой в рассматриваемом случае отстоит на расстоянии Δ , то справедливо очевидное равенство
(4.12)
Приравняв формулы (4.11) и
(4.12), поделив на время Δt
и перейдя к пределу при Δt
→ 0, получим искомую формулу для
субстанционарной производной для
установившегося движения: 
(4.13)
где
- скорость движения частицы.
2. Случай неустановившегося движения
Рассмотрим формулу (4.12). Это равенство учитывает различие параметров потока в двух соседних точках пространства в один и тот же момент времени.
При неустановившемся движении за время Δt, пока объем ΔV перемещается из одной точки в другую, параметр φ изменится в сравнении с тем его значением, которое он имел бы при установившемся движении.
Это дополнительное приращение может быть подсчитано по формуле
(4.14)
Т.о. полное изменение параметра φ составит
(4.15)
Приравняв формулы (4.15) и (4.11), поделив на время Δt и перейдя к пределу при Δt → 0, получим искомую формулу для субстанционарной производной при неустановившемся режиме течения жидкости
(4.16)
где 
- называется локальной (местной)
производной,
и 
– называется конвективной производной,
- скорость движения частицы.
Замечание:
Символически равенство (4.16) можно записать
здесь точки, стоящие за знаком приращения, заменяют написание рассматриваемого параметра и служат для общности рассуждений.
Символ 
представляет собой производную по
направлению скорости движения частицы.
Это направление, при одномерной постановке
задачи, всегда считается известным,
поэтому и скорость движения частицы и
рассматривается как скалярная величина.
В условиях сложного пространственного движения (сплошной среды) жидкости данное представление о субстанциональной производной необходимо расширить и обобщить.