4. Основные уравнения движения жидкости

4.1. Способы описания движения жидкости

Рассмотрим некоторый ограниченный сосуд Ώ с границей Г целиком заполненный жидкостью.

Ω

Пусть, начиная с некоторого момента времени t₀, на жидкость начинает действовать некоторые силы. Это могут быть, например, механические силы (силы перемешивания, силы тяжести, центробежная силы и т.д.).

Тогда жидкость, вообще говоря, придет в движение. Если, к тому же, она в момент времени t₀ находилась в движении, то характер движения в последующие моменты времени t будет зависеть от характера движения в начальный момент времени.

Нашей задачей является описание движения жидкости в моменты времени , в зависимости от начального состояния жидкости и действующих на жидкость сил.

Исторически сложились два принципиально различных подхода к описанию движения жидкости.

1. Подход Лагранжа

Жидкость представляется, как совокупность материальных частиц, заполняющих сосуд (объем) Ώ, причем эти частицы считаются настолько малыми, что их можно отождествить с точками объема Ώ.

Т.о. объектом исследования в этом подходе является частица жидкости.

Сущность подхода Лагранжа заключается в распространении на жидкость обычных приемов механики системы материальных точек.

Т.о. траектория движения частицы жидкости описывается уравнениями

(4.1)

где t – время,

- параметры, которые дают возможность отличить одну частицу от другой.

Для определенности понимают в качестве - координаты данной частицы в некоторый фиксированный (единый для всех частиц) момент времени.

Скорости движения частицы определяются выражениями:

(4.2)

2. Подход (способ) Эйлера

В современной гидродинамике используется в основном способ Эйлера благодаря простоте, а также удобству применения хорошо разработанного математического аппарата теории поля.

Объектом исследования в подходе Эйлера является поле – часть пространства, занимаемого движущейся жидкостью.

Для жидкости применяется модель сплошной среды (т.е. используется гипотеза сплошности).

При использовании подхода Эйлера нет надобности изучать движение каждой фиксированной частицы жидкости – достаточно знать кинематические характеристики в каждой неподвижной точке пространства и исследовать как меняются эти характеристики при переходе из одной точки к другой.

Т.о. при подходе Эйлера движение считается заданным, если определено поле вектора скорости

(4.3)

где - радиус вектор точки пространства.

Выражение (4.3) эквивалентно трем скалярным равенствам:

(4.4)

Однако в некоторых случаях возникает необходимость определения траекторий частиц жидкости (подхода Лагранжа).

В этом случае задача исследования формулируется следующим образом:

Если в начальный момент t₀ частица жидкости занимала положение , а ее движение описывается с помощью функции (t), то

Каждой частице объема Ώ соответствует своя вектор-функция (t), описывающая ее движение.

Движение жидкости будет описано, если будут найдены все эти вектор-функции (t).

Для этого зафиксируем момент времени t. В этот момент времени частица жидкости, двигающаяся по закону (t) имеет скорость

Обозначим через скорость частицы жидкости в момент времени t в точке . Ясно, что должно выполняться соотношение

Отсюда следует, что если известны скорость движущейся жидкости в каждой точке Ώ в каждый момент времени t, т.е. известна вектор-функция , определенная для всех Ώ и всех , то для того, чтобы найти вектор-функцию (t), описывающую движение частицы жидкости, занимающей в начальное время t₀, положение , надо решить следующую задачу Коши для векторного дифференциального уравнения:

(4.5)

Если расписать в координатах, т.е. представить ее в виде

то задачу (4.5) можно переписать в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(4.6)

Т.о., для того, чтобы описать движение жидкости, достаточно знать распределение скоростей жидкости в каждой точке Ώ и в каждый момент времени , или, что то же, знать вектор-функцию .

Оказывается, для того, чтобы найти , нужно в свою очередь решить некоторую систему уравнений, которой удовлетворяет .

Т.о. задачу, которую мы должны решить, можем сформулировать следующим образом:

Пусть в области Ώ трехмерного координатного пространства с гладкой границей Г происходит движение жидкости.

Требуется вывести систему уравнений, которой удовлетворяют функции

являющиеся координатами вектор-функции - поля скоростей движущейся жидкости.