3.4. Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат
Декартова система координат является наиболее распространенной для описания движения жидкости в трехмерном пространстве.
Рассмотрим представление всех рассмотренных понятий и операций в декартовой системе координат, обращая главное внимание лишь на физическое содержание векторных операций и правила их использования и не ставя перед собой задачу строгого доказательства тех или иных положений.
С учетом этого сразу можем написать
1. 
(3.31)
Таким образом, проекции
вектора набла на оси прямоугольной
декартовой системы координат есть
операторы (производные)
.
Поэтому умножить проекцию вектора набла
Примечание:
5. скалярные операторы 2…
6. ( )…
будучи примененными к скалярной
функции 
,
дадут зависимости:
Если
есть
вектор, то, представляя его тремя
скалярными функциями
x;
y;
z
(проекции на оси координат) для
2
и
(
)
получим по три формулы, аналогичные
приведенным (выше).
Например:
на проекцию какого-либо другого вектора – это значит продифференцировать ее по соответствующей координате.
Учитывая это и применяя правило действия над векторами, получаем:
2. 
(3.32)
3. 
(3.33)
4. 
(3.34)
5. 
(3.35)
6. 
(3.36)
3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
1. Положение точки или частицы жидкости в декартовой системе координат характеризуется радиус-вектором
С помощью этого вектора
распределене скоростей в пространстве
дается соотношением
, что эквивалентно трем скалярным
уравнениям:
Приращение вектора - величина d (расстояние между двумя близкими точками) определяется равенством:
а скорость движения некоторой частицы представляется очевидным соотношением
где D – символ субстационарной производной.
Умножим элементарный вектор d на градиент некоторой скалярной функции φ:
Замечаем, что правая часть этого равенства представляет собой полный дифференциал скалярной функции φ.
Т.о. имеем важную формулу:
(3.37)
2. Составим скалярное произведение единичного вектора и grad φ:
(здесь единичный вектор в проекциях на оси координат представляется равенством:
)
Найдем производную от φ по направлению
т.к.
то
Замечание:
Из формулы (3.38) видно, что
производная 
достигает своего наибольшего значения
для направления
,
совпадающего с направлением grad
φ, при этом ее наибольшее значение равно
величине grad φ. Поэтому
градиент скалярной функции можем
определять как вектор, имеющий направление
быстрейшего роста скалярной величины
φ и равный производной от нее по этому
направлению.
Именно поэтому, например, результирующая сила давления равна – grad P, т.к. она должна быть направлена в сторону быстрейшего падения давления, а результирующий тепловой поток – в сторону наибольшего уменьшения температуры, т.е. в сторону – grad T, как это следует из закона Фурье.
Замечание к разделу:
Координатное представление вектора набла позволяет во многих случаях упрощать формулы, записанные в символическом виде, и, таким образом, является существенным дополнением к нему.
Пример:
Найдем выражение для
,
где
- постоянный вектор:
Далее, из соотношений сделанных при выводе формулы (3.28), получаем
В этом выражении последующие преобразования невозможны.
Но, если обратиться к
координатному представлению рассмотренных
нами операций, сразу замечаем, что
величина
оказывается равной
т.о.
rot = 0, т.к. производные от одних независимых переменных по другим тождественно равны нулю (см. 3.34).
Кроме того:
т.о. получим простое соотношение:
Казалось бы, что этот пример наталкивает на мысль, что символический метод совершенно не нужен, т.к. непосредственным вычислением в координатном представлении можно получить все необходимые преобразования.
Это действительно так, однако если попытаться вывести такие простые зависимости, как:
опираясь лишь на координатное выражение оператора Гамильтона, можно сразу оценить существенную экономию труда и бумаги, а также элегантность операций, которые сопутствуют символическому методу исчисления.