3.3.4. Оператор Лапласса (лапласиан)
Наряду с дифференциальными операциями первого порядка в векторном анализе находят частое применение также дифференциальные операции второго порядка. Такой операцией и является лапласиан от некоторой скалярной или векторной функции.
Оператор … или 2 … называемый оператором Лапласса, формально может быть получен как скалярное произведение вектора набла на вектор набла:
…
Таким образом применение знака (символа) 2 … или … к какой-либо скалярной или векторной величине можно трактовать как двойное ее дифференцирование по трем пространственным координатам, т.е. по объему.
В векторном анализе показывается, что математически лапласиан определяется соотношением:
(3.30)
которое вскрывает и смысл этой операции.
Действительно, под знаком интеграла стоит производная по направлению , нормальному к элементарной площадке dF, от некоторой физической характеристики.
Если эта характеристика по всем направлениям от поверхности, охватывающей данный объем, растет, то сам интеграл оказывается положительным и тогда значение самой характеристики внутри объема меньше, чем в его окрестностях. Если же значение характеристики убывает в направлении нормалей от поверхности, то внутри объема сама характеристика больше, чем в окружающем ее пространстве. Интеграл в этом случае будет иметь отрицательное значение. В общем случае он может иметь и тот, и другой знак быть равным нулю.
Таким образом, лапласиан представляет собой отклонение некоторой физической характеристики внутри бесконечно малого объема от среднего значения той же характеристики в окрестностях этого объема.
Вычисляя лапласиан некоторой величины, мы тем самым определяем величину, указанного отклонения.
В гидродинамике большое
значение имеет лапласиан скорости т.е.
2
,
а в теории теплопроводности огромную
роль играет лапласиан температуры
2
.
Замечание:
Опираясь на приведенные разъяснения, можно придти к выводу, что касательные вязкие силы, действующие в жидкости, должны быть, по-видимому, пропорциональны лапласиану скорости, т.к. трение малого объема о соседние частицы той же среды, очевидно будет тем больше, чем больше скорость его отличается от средней скорости этих частиц.
Примеры:
1. 
где φ – скалярная функция.
Примечание: По правилам векторной алгебры безразлично, умножается ли вектор сам на себя вначале, а затем уже на скаляр, или берется скалярное произведение вектора на другой вектор, умноженный на скаляр.
2. 
3. 
4. 
Важное замечание:
Все введенные понятия рассматривались безотносительно к какой-либо системе координат и, следовательно, верны в любой системе отсчета. В этом заключается их большая универсальность. Однако представленный (рассмотренный) символический метод не всемогущ. Он удобен при выводе и преобразованиях основных дифференциальных уравнений, для выявления их физического содержания.
Однако, как только возникает необходимость решения этих уравнений, приходится прибегать к представлению векторов через скалярные функции, т.е. обращаться к их проекциям на оси той или иной системы координат.