3.3.2. Правила символического исчисления
1. Оператор Гамильтона, примененный к сумме или разности каких-то скалярных или векторных функций, равен сумме или разности соответствующих операций, проведенных над отдельными функциями.
2. Применяя операцию дифференцирования в символическом исчислении к произведению скалярных или векторных функций, нужно поступать так же, как это делается при обычном дифференцировании, т.е. произведение дифференцируется столько раз, сколько в нем содержится переменных сомножителей.
При этом каждый раз только один из сомножителей рассматривается как переменный, а остальные принимаются постоянными.
Постоянный множитель можно вынести за знак .
Однако выносить можно лишь постоянный скаляр, а не вектор.
Если под знаком оказывается постоянный вектор, то произведение символического вектора набла на данный вектор надо так преобразовать по правилам действия над векторами, чтобы этот вектор оказался перед знаком и оператор Гамильтона ( ) действовал бы только на переменную величину, стоящую за ним.
Операция деления на вектор отсутствует. Операция деления на скаляр всегда можно представить как умножение на скаляр, обратный данному.
Примечание:
Ньютон:
… при изучении наук примеры бывают полезнее правил.
3.3.3. Примеры, имеющие самостоятельное значение
1. 
(3.24)
(операция дивергенции, примененная к произведению скаляра на вектор, каждый из которых есть переменная величина).
В соответствии с правилами производная от произведения равна сумме производных, т.е.
(3.25)
здесь малые буквы ( m и ) обозначают переменные величины, а большие буквы (M и ) – величины, которые временно рассматриваются как постоянно.
Вынесем скаляр M
за знак
(дифф-я), а во втором слагаемом оператор
(Гамильтона) будем рассматривать как
обычный вектор. Тогда 
есть просто скалярное произведение
двух векторов, величина которого не
меняется от перестановки сомножителей.
Значит, в процессе преобразования
и постоянный вектор
оказался как бы вынесенным за знак
производной.
Т.о. в результате такого
преобразования получили новый оператор
дифференцирования (
)…
, который в отличие от 
является скалярным, а не векторным.
Примечание:
Для преобразования членов
(
)
и
(
)
необходимо искать формулы в векторной
алгебре, которые включали бы комплексы
типа
(
∙
).
Оказывается, что такой комплекс
есть в разложении двойного векторного
произведения:
(
∙
)
=
(
+
(
∙
)
.
После проведения преобразований величины, принятые временно как постоянные, будем (можно) снова считать переменными.
Т.о. равенство (3.25) можно записать:
(3.26)
Замечание:
Т.к. после введения нами нового оператора дифференцирования ( )… стоит переменная скалярная величина, то скобки, охватывающие этот оператор, можно не ставить.
Если бы за знаком (
)…
следовал вектор, то они (скобки) были бы
обязательны. В противном случае выражение
,
и так:
(
,
а про правилам действия над векторами
.
Т.о. окончательно выражение (3.26) можно записать:
(3.27)
2. Найдем выражение для grad ( ∙ ), где и переменные векторы.
первый шаг: запишем:
(*)
Здесь мы не имеем права, как в предыдущем примере, делать преобразования вида:
т.к. знаки равенства в этих
выражениях незаконны из-за справедливости
.
Из векторной алгебры известно:
Т.о. заменив в этом отношении вектор на оператор Гамильтона , получим для первого слагаемого равенства (*) такое выражение:
Аналогично представляется и второе слагаемое (*):
Наконец, считая все векторы вновь переменными, запишем следующую зависимость:
(3.28)
Замечание 1:
В дальнейшем нас будет интересовать лишь частный случай этой формулы, когда оба вектора и равны вектору скорости.
Т.о из выр-я (3.28) автоматически получаем:
(3.29)
Замечание 2:
Введенные нами величины ( )… и … являются дифференциальными операторами первого порядка, причем один из этих операторов векторный, а другой – скалярный. Они как бы символизируют первую производную от функции пространственных переменных.
Примечание:
Рассмотренные рассуждения о лапласиане, дивергенции, градиенте и т.д. (полезно) необходимо помнить при чтении основных уравнению гидродинамики. Тогда, записанные в символах векторного анализа, они (эти уравнения) приобретают свойственную им физическую простоту и ясность.