3.2.2. Grad р (градиент давления)
Пусть под скаляром мы будем понимать давление P.
Рассмотрим подынтегральное выражение входящее в формулу (3.18)
Под знаком интеграла содержится произведение p∙dF, которое дает величину силы давления, приложенного к площадке dF.
После умножения не единичный нормальный вектор получаем направление действия этой силы, поскольку давление всегда действует по нормали к рассматриваемой площадке.
Выделим в пространстве некоторый объем ΔV или будем рассматривать одну и ту же массу жидкости, занимающую объем ΔV, (в данном случае различие точек зрения не меняет смысла понятия градиента давления), тогда величина - pdF дает величину и направление силы давления на этот объем по площадке dF.
Знак минус поставлен на том основании, что давление действует всегда по внутренней нормали, а в формуле рассматривается внешняя нормаль к поверхности, охватывающей объем ΔV.
Проинтегрируем теперь по замкнутой поверхности F и получим суммарную силу давления на объем ΔV:
(3.21)
Разделив равенство (3.21) на величину объема ΔV, получим среднее значение силы давления, действующей на единичный объем, заключенный внутри поверхности F.
При ΔV → 0 предел этого отношения дает точное значение величины и направления суммарной силы давления, которой подвергается единичный объем, охватывающий интересующую нас точку пространства или центр инерции движущейся бесконечно малой частички жидкости.
3.2.3 Rot (ротор скорости)
Анализируя выражение (3.19), т.е.
и рассматривая частицу жидкости произвольной формы, как это делали при обсуждении div и grad P, невозможно дать физическое трактование rot .
Замечание: rot представляет собой удвоенную угловую скорость вращения частицы жидкости в рассматриваемой точке пространства, т.е.
(3.22)
3.3. Символическое исчисление
3.3.1. Оператор Гамильтона
Рассмотрев внимательно математическое содержание операций div, grad, rot (формулы 3.17, 3.18, 3.19), замечаем, что эти три соотношения могут быть представлены одним общим выражением вида:
(*)
где символ
…,
называемый оператором Гамильтона или
вектором Набла, обозначает предел
отношения, стоящий в правой части
равенств 3.17, 3.18, 3.19.
Известна запись определения производной от функции
(**)
Запись (*) и (**) имеют сходство и различие.
1. Сходство записей (*) и (**):
В записи (**) под знаком предела стоит разность значений (изменения) функции на границах интервала Δx, отнесенная к величине самого интервала.
В записи (*) также под знаком предела стоит отношение изменения (разности) значений некоторой величины (представляемое интегралом по поверхности) на границах интервала к самому интервалу ΔV.
Однако в выражении (**) рассматривается линейный интервал, в в выражении (*) трехмерный.
Поэтому знак
можно трактовать, подобно символу 
,
как оператор дифференцирования, но не
по одной координате, а по всем трем
координатам сразу, т.е. по объему.
Различие записей (*) и (**)
Известно, что оператор , примененный к скалярной функции, всегда дает скалярную величину, а к векторной – векторную. Но мы ранее установили, что дивергенция вектора – скаляр, градиент скаляра – вектор, ротор вектора – вектор.
Т.е., казалось бы, применение
оператора дифференцирования
к векторным и скалярным функциям не
приводит к однозначности результатов.
Однако будем считать, что знак 
имеет
двойственную природу, являясь одновременно
и оператором дифференцирования, и особым
символическим вектором, т.е. вектором,
не имеющим не определенной длины, ни
направления.
Замечание:
Исходя из двойственности (двойственной природы) символа , строится изящное исчисление, широко применяемое в векторном анализе.
т.о.
(3.23)
∙
- есть скалярное произведение
вектора набла на вектор скорости (и в
то же время определенным образом
выполненное дифференцирование), поэтому
ясно, что дивергенция вектора есть
скорость.
- есть вектор (умножение вектора на
скаляр), но в то же время осуществляется
дифференцирование скалярной функции
по объему.
- есть векторное
произведение вектора набла на вектор
скорости, что дает производный вектор
получившийся в результате определенным
образом проведенного дифференцирования
векторной функции по объему.
Замечание:
В векторном анализе в основном действуют все те правила, которые справедливы для дифференциального исчисления обычных скалярных функций, однако имеется и некоторое отличие.