2.1.2.2. Метод выявления изолированного влияния факторов

Пусть результативный показатель z определяется несколькими факторами – x₁, x₂, …, x_n:

z = f(x₁, x₂, …, x_n). (2)

Базовый период обозначим индексом 0, а отчетный – 1.

Изменение результативного показателя, имевшее место за это время:

Δ_общz = z₁ – z₀. (3)

2.1.2.3. Дифференциальный метод

Пусть z = f(x₁, x₂, …, x_n), где f – дифференцируемая функция. Тогда:

; (4)

где ; .

Таким образом, влияние фактора x₁ выглядит как:

. (5)

Этот метод может применяться при малых изменениях факторов. Для мультипликативных моделей метод совпадает с методом изолированного влияния факторов.

Мультипликативная модель – тип факторной модели в детерминированном анализе, когда результативный показатель равен произведению нескольких факторов (факторов-сомножителей).

2.1.2.4. Интегральный метод

Метод является логическим развитием дифференциального метода. Интегральный метод предполагает применение стандартных формул для расчета влияния каждого фактора на результирующий показатель, которые получены с помощью процедуры дифференцирования и интегрирования.

Достоинство метода – разложение факторов и отсутствие необходимости устанавливать очередность действия факторов, как это предусмотрено в методе цепных подстановок. Недостатки метода – значительная трудоемкость расчетов по приведенным формулам, наличие принципиального противоречия между математической основой метода и природой экономических явлений. Большинство явлений и величин в экономике имеют дискретную природу, поэтому рассматривать бесконечно малые приращения, как того требует применение интегрального метода, бессмысленно.

В наиболее общем виде справедливо пред­ставление обобщающего показателя как функции многих перемен­ных:

f = f(x, у); f = f{x, у, z) и т. д.; (6)

Δ f = f₁ - fo; Δ х = х₁-х₀; Δ у = у₁-у₀, (7)

где f — результативный показатель; х, у, z — факторы, влияющие на результирующий показатель; Δ — изменение показателя, фактора; 0; 1 — соответственно базисное или фактическое значение показателя.

Известны попытки использовать при таком подходе формулу полного дифференциала для расчета влияния отдельных факторов (переменных) на изменение обобщающего показателя:

Δ f = f 'x * Δ х + Δ ' y * Δ у + ε

Величинам f 'x * Δх и f 'y * Δy естественно придать смысл оценок влия­ний факторов х и у на изменение итогового показателя f, так как частные производные f 'x и f 'y характеризуют скорости изменений функции по отдельным переменным. Здесь ε — разность между действительным приращением функции и дифференциалом, эконо­мического смысла она не имеет. Величина ε становится существен­ной с увеличением значений Δх и Δу, поэтому непосредственное применение формулы ведет к очень грубым (фактически неприемле­мым) оценкам влияний факторов. Однако точность расчетов растет с уменьшением приращений факторов.

Ниже приводятся рабочие формулы, полученные в результате использования дифференцирования и интегрирования в факторном анализе для некоторых типов факторных моделей экономических показателей.

Показатели типа f = х * у. Согласно интегральному методу влияние факторов на результирующий показатель следует рассчитывать по формулам:

Δfх = у₀ * Δх + (Δх * Δу)/2, (8);

Δfу = х ₀ * Δу + (Δх * Δу)/2 или Δf - Δfх (9)

Таким образом, непосредственное использование интегрального метода здесь и в случаях, приведенных ниже, не требует знания техники интегрирования.

Показатели типа f = х / у. Примером может служить показатель производительности труда как отношение стоимости выпущенной продукции к численности работающих.

Формулы расчета влияния факторов (х, у) на результирующий показатель:

Δfх = (Δх / Δу ) * ln |у₁/у₀| , (10)

Δfу = Δf - Δfх (11)

Показатели типа f = х / (у + z). Примером может служить показатель рентабельности, как отношение прибыли к среднегодовой сумме основных производственных фондов и оборотных средств.

Рабочие формулы для расчета влияния трех факторов на результирующий показатель:

Δfх = [Δх /(Δу +Δ z)] * ln |(у_{1 +} z₁) /(у_{0 +} z₀)| , (12)

Δfу = [(Δf - Δfх) / (Δу +Δ z)] * Δу , (13)

Δf z = Δf - Δfх – Δfу. (14)