4.3 Линейные неоднородные системы

Нормальная линейная неоднородная система дифференциальных уравнений имеет вид

где по крайней мере одна из функций не равна нулю тождественно.

Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения

где . Интегрирование системы можно проводить методом исключения, однако предпочтительнее найти предварительно решение соответствующей однородной системы и какое-либо частное решение неоднородной системы. Тогда общее решение неоднородной системы имеет вид

.

Если известна фундаментальная система , решений однородной системы, то общее решение можно найти методом вариации произвольных постоянных, полагая

Определяем функции подстановкой в неоднородную систему. Учитывая при этом равенства

приходим к системе уравнений относительно . Из этой системы находим и интегрируя, получаем функции с точностью до произвольных постоянных. Подставляя их в равенство , получаем искомое общее решение неодно-

родной системы.

Решить линейные однородные системы с постоянными коэффициентами:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18. 19.

20. 21.

22. 23. 24.

Решить линейные неоднородные системы:

25. 26. 27.

28. 29.

30. 31. 32.

Ответы: 1. 2.

3. 4.

5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16

17.

18. 19.

20. 21.

22. 23.

24.

25. 26.

27.

28.

29. 30.

31. 32.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления / Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 2001.Т.2.- 576 с.

2. Агафонов С.А. Дифференциальные уравнения / С.А. Ага-

фонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова. - М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2000.-348 с.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: «Оникс 21

век» «Мир и образование», 2003. Ч. 2.

4. Зимина О.В. Высшая математика / О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова.- М.: Физико-математическая литература, 2001.-368 с.

5. Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов / А.В. Ефимов, Б.П. Демидович; под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука,1986. –Ч.2.-368 с.

6. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс/К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко; под ред. С.Н. Федина. - М.: Айрис-пресс, 2005.-592 с.

7. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике: Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения / А. П. Рябушко и др.; под общ. ред. А. П. Рябушко.- 3-е изд.- Минск.: Выш. шк., 2007.-396 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы

по изучению раздела «Дифференциальные уравнения» курса «Математика»

для студентов направления подготовки бакалавров 230400 «Информационные системы и технологии».

очной формы обучения

Составители:

Глушко Елена Георгиевна

Дубровская Алевтина Петровна

Провоторова Елена Николаевна

В авторской редакции

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»