3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное урав-

нение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

(3.4)

Квадратное уравнение

(3.5)

называется характеристическим уравнением для уравнения (3.4).

Теорема 5. Пусть и - корни характеристического уравнения (3.5). Тогда общее решение уравнения (3.4) находятся по одной из следующих трех формул:

1) если и - действительные и , то

2) если , то

3) если - комплексно- сопряженные корни, то

Задача 3.1. Найти общее решение уравнения:

1) .

Решение. Составим характеристическое уравнение . По его корням и составим общее решение данного однородного уравнения:

2)

Решение. Характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня В таком случае

, или

3)

Решение. Характеристическое уравнение

имеет комплексно-сопряженные корни В этом случае общее решение уравнения имеет вид

3.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду) второго порядка

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Так как общее решение линейного однородного уравнения (3.4) можно находить по теореме 5, то в силу теоремы 4 для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения

, (3.6)

остается найти какое-нибудь одно его частное решение . В

тех случаях, когда правая часть имеет специальный вид,

частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов. Этот метод называется также методом подбора частного решения неоднородного

уравнения и сводится к следующим двум случаям.

Случай 1. , где - многочлен степени .

а) Если не является корнем уравнения характеристического уравнения (3.5), то частное решение можно искать в виде , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами.

б) Если - корень уравнения (3.5) кратности , то частное решение можно искать в виде .

В частности, если , т.е. , то ищется в

виде (если не является корнем характеристического уравнения) или в виде (если - корень кратности характеристического уравнения).

Случай 2. , где и - многочлены степени и , соответственно. Положим .

а) Если не являются корнями уравнения (3.5), то

,

где - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

б) Если корни уравнения (3.5) кратности , то

.

В частности, если , т.е. , то частное решение ищется в виде

,

если числа не являются корнями характеристического уравнения или в виде , если числа - корни характеристического уравнения.

Теорема 6. Если и - частные решения соответственно

уравнений и , то

функция - частное решение уравнения

Задача 3.2.Найти общее решение уравнения , подбирая частное решение методом неопределенных коэффициентов.

Решение. Характеристическое уравнение имеет два действительных корня и , поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид Правая часть неоднородного уравнения имеет вид , где - многочлен первой степени, а - не является корнем характеристического уравнения. Значит, частное решение ищем в таком же виде: ( - многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами) Для определения коэффициентов и находим

,

После чего подставляем выражения для в исходное дифференциальное уравнение:

После сокращения обеих частей на и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях в левой и правой части полученного равенства приходим к системе уравнений относительно неизвестных и :

т.е.

Отсюда а Теперь в силу

теоремы 4 общее решение исходного уравнения имеет вид

Задача 3.3. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корень кратности 2, откуда, Правая часть неоднородного уравнения имеет вид , где - многочлен первой степени, а - корень кратности 2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: . Для определения коэффициентов и находим

После чего подставляем выражения для в исходное дифференциальное уравнение:

+ +9

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , имеем:

откуда

Таким образом, , и общее решение

Задача 3.4. Решить уравнение

.

Решение. Находим корни характеристического уравнения

,

получаем , откуда Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , так как неизвестные многочлены и должны иметь степень , где - степень многочлена - степень многочлена . Далее находим :

.

Подставляем в неоднородное уравнение и приравниваем коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях соответствующего уравнения

Из первого и третьего уравнений находим : Из второго и четвертого, с учетом полученных коэффициентов, имеем : Таким образом,

Задача 3.5. Решить уравнение .

Решение. Корни характеристического уравнения мнимые Правая часть неоднородного уравнения имеет вид . Значит и - корни характеристического уравнения, поэтому Находим , подставляем в неоднородное уравнение и приравниваем коэффициенты при линейно независимых функциях: , получаем систему, из которой находим

Таким образом

Задача 3.6. Решить уравнение

3. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами

состоит в следующем: общее решение уравнения имеет вид

,

где - фундаментальная система решений однородного уравнения , а функции - находятся из системы дифференциальных уравнений первого порядка

Решить уравнения:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

Найти частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

10.

11.

12.

13.

Ответы:

1. 2.

3. 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 11.

12.

13.