§ 4. Системы дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

4.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

(4.1)

где - независимая переменная, а - неизвестные функции от , называется нормальной системой.

Решить эту систему означает найти функции

,

удовлетворяющие системе (4.1) .

Нормальную систему можно привести к одному уравнению порядка (или меньше) относительно одной неизвестной функции, скажем при помощи следующего алгоритма, называемого методом исключения.

Дифференцируем первое уравнение системы по переменной : .

Производные в правой части этого равенства заменим их выражениями из системы (4.1). Получим уравнение . Это равенство снова дифференцируем по переменной :

.

Производные в правой части этого равенства заменим их выражениями, заданными системой (4.1). Получим еще одно уравнение . Это уравнение

дифференцируем по переменной и так далее до тех пор, пока не придем к уравнению .

Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединим в одну систему, к которой присоединим первое уравнение системы (4.1)

(4.2)

Первые уравнений системы (4.2) разрешим относительно

переменных , выражая их через переменные и , а также производные . Полученные выражения подставим в последнее уравнение системы (4.2). В итоге придем к дифференциальному уравнению порядка относительно неизвестной функции .

Из общего решения этого уравнения можно получить общее решение системы (4.1) или требуемое частное решение. Заметим, что порядок последнего уравнения может быть меньше, чем , если при его получении были использованы не все уравнения системы (4.1).

Пример 4.1. Решить систему дифференциальных уравнений:

Решение. В данной системе - неизвестные функции, а независимая переменная - их аргумент.

Дифференцируем первое уравнение системы по :

.

Вместо и подставим их выражения из второго и третьего уравнений системы. Получаем

,

откуда

Полученное уравнение дифференцируем по , а вместо и опять подставим выражения из тех же уравнений системы

Составим новую систему:

Система состоит из первого уравнения исходной системы и двух уравнений, полученных последовательным дифференцированием.

Из этой системы исключим неизвестные и . Для этого проще всего использовать первые два уравнения системы, из которых, после преобразования (рассматривая и

, находим

И эти выражения подставим в третье уравнение системы:

После приведения подобных слагаемых получаем одно уравнение третьего порядка (однородное с постоянными коэффициентами) относительно неизвестной функции :

Корнями его характеристического уравнения

являются числа Следовательно, общее решение последнего уравнения имеет вид

Теперь надо получить значение для и . Это легко сделать, имея в виду систему, содержащую и , выраженные через . Поэтому сначала находим

.

Остается сделать соответствующие подстановки:

Аналогично, Окончательно, получаем

Пример 4.2. Решить систему при заданных начальных условиях

Решение. Сначала приводим систему к нормальному виду, т.е. к виду, разрешенному относительно производных

Далее действуем по схеме, примененной при решении предыдущего примера.

Первое уравнение дифференцируем по , после чего вместо подставим выражение из второго уравнения новой системы

т.е.

из которого исключим , для этого первое уравнение, умноженное на (-4) прибавим ко второму:

Полученное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами решается стандартным способом подбора частного решения. Решаем однородное уравнение . Для этого составляем характеристическое уравнение . Его корни - вещественные и различные, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид . Частное решение неоднородного уравнения будем искать методом неопределенных коэффициентов в виде

Находим

Подставляем в неоднородное уравнение и приравниваем коэффициенты при функциях в левой и правой частях равенства, получаем систему для нахождения коэффициентов

Следовательно , отсюда

Окончательно получаем общее решение неоднородного уравнения

Другую функцию можно найти двумя способами.

а) Из второго уравнения системы находим

Подставляя сюда найденное выражение для , находим .

б) Из первого уравнения нормальной системы имеем

Отсюда, учитывая, что , получим

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Подставляя начальные условия , определяем константы и

следовательно,

Итак, частные решения, удовлетворяющие начальным условиям, имеют вид

Решить данные системы дифференциальных уравнений:

2.

3. 4. 5.

6. 7. 8.

Ответы:

1. 2.

3.ь данные системы дифференциальных уравнений:

енияффициентов в виде

ентами решается стандартным способом подбора частно

3.

4. уравнение Е СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000006. 7.

8. 9.

10.