Глава 2. Трёхмерные системы координат и их преобразования

2.1. Прямоугольные и полярные координаты

В настоящее время наибольшее распространение при практическом использовании получили прямоугольные системы координат в трёхмерном пространстве, для задания которых необходимо указать положение начала, масштаб по осям координат и ориентировку осей.

В дальнейшем нам часто придётся пользоваться прямоугольными и полярными координатами, поэтому в качестве справочного материала напомним основные определения и соотношения между этими системами координат (рис. 2.1).

z

s

r

z_s

O β

y

α x_s

y_s

x

Рис. 2.1. Прямоугольные x_s, y_s, z_s и полярные r, α, β координаты точки s

Плоскость Oxy называется основной плоскостью, а плоскость Oxz – начальной плоскостью прямоугольной системы координат. Положение точки s в прямоугольной системе координат задаётся её алгебраическими проекциями x_s, y_s, z_s на соответствующие оси. Положение той же точки можно задать полярными координатами: r – модулем радиус-вектора точки s,  - углом между осью Ox и проекцией радиус-вектора на основную плоскость,  - углом между основной плоскостью и радиус-вектором. Углы  и  в различных координатных системах имеют свои названия, но вводятся они, как правило, описанным выше способом. Переход от полярных координат к прямоугольным координатам осуществляется по формулам

, (2.1)

где l, m, n – направляющие косинусы радиус-вектора.

Обратный переход от прямоугольных координат к полярным координатам можно выполнить по формулам, вытекающим из прямого преобразования (3.1)

, (2.2)

, (2.3)

. (2.4)