5. Кoд з сталою вагою (код на одну сполуку).

Це код з сталою W = Const одиниць у кодових словах. Кількість дозволених кодових слів у коді довжиною n дорівнює     

Такий код утворюється з простого двійкового шляхом відбору кодових слів, що мають однакову кількість одиниць. На приймальному боці підраховується кількість одиниць у кодовому слові, і якщо вона відрізняється від W, - це свідчить про помилку. Код виявляє всі помилки непарної кратності і такі помилки парної кратності, що порушують умову W ' = Const.

Кодова відстань d_min = 2,  надлишковість  .

6. Код Хеммінга.

Це один з найпоширеніших коректуючих кодів. Він виправляє всі однократні помилки за d_min= 3, а за d_min = 4 (розширений код Хеммінга), крім того, виявляє всі двократні помилки.

За заданої кількості інформаційних символів k , ( ) кількість перевірочних символів (n-k) і довжина коду n визначаються нижньою межею Хеммінга (26) для S = 1

 

і для k = 1, 2...,10 наведено в таблиці	k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	3	5	6	7	9	10	11	12	13	14

 

Перевірочні символи b₁, b₂, ...  , розташовуються на позиціях 1, 2, 4, 8,...,  , номери яких є цілими степенями двійки, таким чином, простому двійковому слову a_l,a₂,...,a_k відповідає у коді Хеммінга слово (вектор) (B) = (b₁, b₂, a₁, b₄, a₂, a₃, a₄, b₈,... ,a_k) з шуканими перевірочними

символами.

 

Утворюється матриця (A) з (n-k) рядків і п стовпчиків, у якій кожний і-ий стовпчик (i = 1, 2,... ,n) є двійковим зображенням свого номера. Наприклад за k = 4, п = 7 зазначена (перевірочна) матриця має вигляд

 

Записується система рівнянь для визначення перевірочних символів

де множення і додавання відбувається за модулем 2.

 

Для наведеного прикладу (B) = (b₁, b₂, a₁, b₄, a₂, a₃, a₄) і система перевірочних рівнянь має вигляд

 

 

За зазначених умов у кожному перевірочному рівнянні є один і тільки один з перевірочних символів b₁,b₂, b₄,..., які легко знаходяться.

На приймальному боці перевіряється виконання наведених рівнянь для прийнятих символів а_i' та b_j'. Невиконання будь-якого з перевірочних рівнянь визначає помилку, а запис отриманих перевірочних значень (синдром перевірочних рівнянь) дорівнює двійковому зображенню номера спотвореного розряду, і цей розряд треба інвертувати.

 

Для наведеного прикладу двійковому слову 0101 відповідають перевірочні рівняння

 і слово у коді Хеммінга 0100101.

 

Припустимо, внаслідок спотворень у каналі зв'язку замість цього слова було прийнято 0100111. Для виявлення помилки виконуються перевірочні співвідношення

Номер помилкової позиції у двійковому записі 110, у десятковому записі 6 (=1·2² +1·2¹ + 0·2⁰), отже помилка у шостому розряді. Таким чином, у прийнятому слові 0100111 слід змінити шостий символ, і отримуємо слово 010010, яке було передано.

 

7. Циклічні коди. Це різновид систематичних кодів (перевірочні (n-k) символів розташовані після kінформаційних).

 

Циклічний код - це бінарний код, у якому кожне дозволене слово є циклічною перестановкою іншого дозволеного (перша цифра переставляється у кінець). Наприклад, якщо 0111001 - дозволене слово, то 1110010 - також дозволене.

Кодові слова циклічного коду F(l,0) = a_l,a₂,...,a_n, зручно зображати у вигляді поліномів від формальної змінної х

При цьому циклічний зсув формально відповідає символічному множенню ® полінома (кодового слова) F(x) на х

                      

Таке уявлення кодових слів дозволяє звести дії над словами до дій над поліномами (за модулем 2).

 

Можна довести, що кожне кодове слово F(x) циклічного коду довжиною п ділиться без остачі на поліном T_n-k(x) степені (n-k), який є дільником двочлена хⁿ +1. Для таких поліномів (твірних) складені таблиці, фрагмент яких має вигляд

n-k	1	2	3	4	4	5	5	5
Tn-k(x)		x2+x+1	x3+x+1	x4+x2+1	x4+x3+1	x5+x2+1	x5+x3+1	x5+x3+ +x2+x+1

 

 

(Приклад отримання твірних поліномів:

  )

 

З зазначеної умови випливає формула утворення кодового слова F(x) циклічного коду довжиною п з простого двійкового числа Q(l,0) довжиною k, якому відповідає поліном Q(x) степені k

де   - остача від ділення добутку   на твірний поліном 

На цьому ґрунтується перевірка прийнятого слова F'(x) на наявність помилки  , свідчить про наявність помилки, а номер розряду i (справа), де є помилка визначається умовою

, 

 

Один з алгоритмів циклічного кодування такий:

1. З нижньої межі Хеммінга   знаходиться довжина коду n і кількість (n-k) контрольних символів.

2. Знаходиться твірний поліном 

3. Задане просте двійкове кодове слово Q(l,0) записується у вигляді поліному Q(x)

4. Утворюється кодове слово у вигляді поліному F(x) і у вигляді бінарного циклічного коду F(l,0)

 

Приклад:

 

 

 

                                                         

 

 

                                                    

 

Нехай на приймальному боці замість цього слова отримано

 

 

 

 

                                                          помилка є

 

 

 

 

 

 

 

 

і = 4:

^iJW

 

 

і=1:                                                                         і=2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і=3:                                                                          і=4:

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином помилка у четвертому розряді, який треба інвертувати: 0110010 => 0111010 = F(l,0)

Додаток 1.

Фрагмент таблиці значень війкових логарифмічних цілих чисел

 

x	log2x	x	log2x	x	log2x	x	log2x
1	0,000	36	5,170	71	6,150	106	6,728
2	1,000	37	5,209	72	6,170	107	6,741
3	1,585	38	5,248	73	6,190	108	6,755
4	2,000	39	5,285	74	6,209	109	6,768
5	2,322	40	5,322	75	6,229	110	6,781
6	2, 5л 5	41	5,358	76	6,248	111	6,794
7	2,807	42	5,392	77	6,207	112	6,807
8	3,000	43	5 426	78	6,285	113	6,820
9	3,170	44	5,159	79	6,304	114	6,833
10	3,332	45	5,192	80	6,322	115	6,845
11	3,459	46	5,524	81	6,340	116	6,858
12	3,585	47	5,555	82	6,358	117	6,870
13	3,700	48	5,585	83	6,375	118	6,883
14	3,807	49	5,615	84	6,392	119	6,895
15	3,907	50	5,644	85	6,409	120	6,907
16	4,000	51	5,672	86	6,426	121	6,919
17	4,087	52	5,700	87	6,443	122	6,931
18	4,170	53	5,728	88	6,459	123	6,943
19	4,248	54	5,755	89	6,476	124	6,954
20	4,322	55	5,781	90	6,492	125	6,966
21	4,392	56	5,807	91	6,508	126	6,977
22	4,459	57	5,833	92	6,524	127	6,989
23	4,524	58	5,858	93	6,539	128	7,000
24	4,585	59	5,883	94	6,555	200	7,644
25	4,644	60	5,907	95	6,570	256	8,000
26	4,700	61	5,931	96	6,585	300	8,229
27	4,755	62	5,951	97	6,600	400	8,644
28	4,807	63	5,977	98	6,615	500	8,966
29	4,858	64	6,000	99	6,629	512	9,000
30	4,907	65	6,022	100	6,614	600	9,229
31	4,954	66	6,044	101	6,658	700	9,451
32	5,000	67	6,066	102	6,672	800	9,644
33	5,044	68	6,087	103	6,687	900	9,814
34	5,087	69	6,109	104	6,700	1000	9,965
35	5,129	70	6,129	105	6,714	10000	13,288

 

Додаток 2.

Фрагмент таблиці значень функції -plog₂p

 

p	-plog2p	p	-plog2p	p	-plog2p	p	-plog2p
0,001	0,0099	0,027	0,1407	0,150	0,4105	0,600	0,4432
0,002	0,0179	0,028	0,1444	0,160	0,4230	0,610	0,4350
0,003	0,0251	0,029	0,1481	0,175	0,4400	0,625	0,4238
0,004	0,0319	0,030	0,1518	0,180	0,4453	0,650	0,4040
0,005	0,0382	0,032	0,1589	0,190	0,4552	0,675	0,3828
0,006	0,0443	0,035	0,1693	0,200	0,4644	0,700	0,3602
0,007	0,0501	0,037	0,1760	0,210	0,4728	0,710	0,3508
0,008	0,0557	0,040	0,1858	0,225	0,4842	0,725	0,3364
0,009	0,0612	0,042	0,1941	0,250	0,5000	0,750	0,3113
0,010	0,0664	0,045	0,2013	0,275	0,5122	0,775	0,2850
0,011	0,0716	0,047	0,2073	0,300	0,5211	0,800	0,2575
0,012	0,0766	0,050	0,2161	0,310	0,5238	0,810	0,2462
0,013	0,0814	0,055	0,2301	0,325	0,5270	0,825	0,2290
0,014	0,0862	0,060	0,2435	0,350	0,5301	0,850	0,1993
0,015	0,0909	0,065	0,2563	0,375	0,5306	0,875	0,1810
0,016	0,0954	0,070	0,2686	0,400	0,5288	0,900	0,1368
0,017	0,0999	0,075	0,2803	0,410	0,5274	0,910	0,1238
0,018	0,1043	0,080	0,2915	0,425	0,5246	0,925	0,1040
0,019	0,1086	0,085	0,3023	0,450	0,5184	0,950	0,0703
0,020	0,1129	0,090	0,3127	0,475	0,5102	0,975	0,0356
0,021	0,1 170	0,095	0,3226	0,500	0,5000	0,930	0,0286
0,022	0,1211	0,100	0,3322	0,510	0,4954	0,990	0,0143
0,023	0,1252	0,110	0,3503	0,525	0,4880	0,095	0,0072
0,024	0,1291	0,125	0,3750	0,550	0,4744	0,097	0,0043
0,025	0,1330	0,130	0,3826	0,575	0,4591	0,999	0,0014
0,026	0,1369	0,140	0,3971

 

Список літератури

1. В. І. Федорук. Теорія інформації та кодування. - Чернівці, „Рута", 2001.

2. Ю. П. Жураковський, В. М. Полторак. Теорія інформації та кодування. - Київ, „Вища школа", 2001.

3. В. П. Цимбал. Теория информации и кодирование. - Киев, „Вища школа", 1992.

4. В. П. Цимбал. Задачник по теории информации и кодирования. - Киев, „Вища школа", 1976.

5. И. В. Кузьмин, В. А. Кедрус. Основы теории информации и кодирования. - Киев, „Вища школа", 1986.

6. В. А. Орлов, Л. И. Филиппов. Теория информации в упражнениях и задачах. -Москва, „Высшая школа", 1976.

7. А. М. Яглом, И. М. Яглом. Вероятность и информация. - Москва, „Наука", 1973.

8. Ф. П. Тарасенко. Введение в курс теории информации. - Томск, изд.тгу, 1963.

9. В. М. Дмитриев. Теория информации и кодирования. - Москва, Изд. МЭИ, 1997.