Теория свидетельств Демпстера-Шефера

(A.Dempster – G.Shafer)

A Mathematical Theory of Evidence (G.Shafer, 1976)

Минусы схемы Байеса:

1. p(H) +p(¬H) = 1

2. Свойство индифферентности:

Если не известна вероятность гипотезы (события), то все гипотезы считаются равновероятностными.

3. Точечная оценка (оценку получают в виде точки).

Аксиомы ТВ Колмогорова:

1. 0 ≤ P(H) ≤ 1;

2. P(true) = 1;P(false) = 0;

3. P(H∪Q) =P(H) +P(Q) –P(H&Q) => 4

4. P(H∪¬H) =P(H) +P(¬H) = 1

Посылки теории свидетельств

(слабее посылок ТВ)

1. Использование субъективных свидетельств (субъективных вероятностей)

2. Использование правила объединения свидетельств

3. Различаются ситуации неопределённости (uncertainty) и незнания (ignorence):

Т.е. если эксперт выступает “за” гипотезу с уверенностью a, то это не значит, что он отвергает её с уверенностью(1-a)

4. Вместо точечных вероятностей используется вероятностный интервал доверия.

В 1967г. Dempsterввёл значения:

P*(H) – верхнее значение вероятности события или гипотезы

(H) – нижне значение вероятности события или гипотезы

Интервал доверия [P*(H),(H)]

Shafer:

Bel(H) – мера (функция) доверия кH

Pl(H) – мера правдоподобия гипотезыH

Pl(H) = 1- Bel(H)

Bel– ф-я, т.к. для неё возможен аппарат вычислений

[Bel(H), Pl(H)]

Bel– нижняя граница, мера необходимости

Pl– верхняя граница, уровень возможности, при котором гипотеза ещё может иметь место

Пример

Н – покупать акции

1. Эксперт А: ) = 0.9

Эксперту А можно верить с вероятностью 0.9

) = 0.1

Эксперт А советует покупать, т.е. он за гипотезу H.

Bel(H) = 0.9

Pl(H) = 1 – Bel(¬H) = 1-0 = 1

Нет информации, что не следует покупать акции.

Вероятностный интервал доверия [0.9;1.0]

2. Эксперт B:) = 0.8,) = 0.2

Нужно объединить результаты.

а) A,B → H

Вероятность, что обоим можно верить:

Bel(H) = 0.98

Pl(H) = 1

[0.98; 1]

б) A→H,B→ ¬H

- нормирующее

Bel(H) = = 0.645

Bel(¬H) = = 0.286

[Bel(H); Pl(H)= 1- Pl(¬H)]

Вероятностный интервал доверия H: [0.643; 0.714]

Pl(¬H) = 1- Bel(H) = 0.357

Вероятностный интервал доверия ¬H: [0.286; 0.357]

Если ,, то вероятностный интервал [0.99; 1

Если эксперты говорят одно и то же, то следует купить акции.

Если эксперты противоречат друг другу, то вероятность гипотезы не 0.5, а [0.47; 0.53].

Здесь не работает принцип P(H) +P(¬H) =1.

Лекция №9 (8.11.11)

Правило объединения свидетельств.

Для разных гипотез могут быть одни и те же свидетельства. Но предполагается, что эти гипотезы взаимоисключающие. Используется метод объединения свидетельств.

Рассмотрим ситуацию конфликта свидетельств. Субъективные вероятности: учитывается то, что известно. Неопределённость и неизвестность – не одно и то же.

{H} – множество гипотез (простудные заболевания)

- множество всех подмножеств из множества {H}

⊆H – подгипотезы гипотезы H (грипп, ангина, ОРЗ)

Задаётся базовое распределение вероятностей (мер) на множестве :

0 ≤ m(H) ≤ 1

Ф-я (мера) доверия к гипотезе H:

Мера правдоподобия H: Pl(H) =

[Bel(H),Pl(H)]

Правило объединения свидетельств Демпстера:

- конфликт свидетельств.

Пример

Задача медицинской диагностики.

Пусть H– сложная гипотеза, которая содержит 4 подгипотезы:

• шок (k1)

• грипп (k2)

• мигрень (k3)

• менингит (k4)

1. Свидетельство – у пациента лихорадка

{} с вероятностью 0.6

= 0.6

= 0.4

H – всё, что осталось

Свидетельство лихорадка подтверждает гипотезы с вероятностью 0.6. Значит, вероятность всего остального 0.4.

2. Свидетельство – рвота

{} с вероятностью 0.7

= 0.7

Нужно объединить свидетельства.

Как получить правило объединения свидетельств, зная и?

X– мн-во гипотез, на которых мерапринимает нулевое значение

Y– мн-во гипотез, на которых мерапринимает нулевое значение

0.4
	0.3
0.4	0.3	0.12
		1.00

3. Подключаются результаты анализа. Они дают свидетельства в пользу менингита.

= 0.8

= 0.2

	= 0.8
0.12	= 0.8	= 0.096
	= 0.2
0.12	= 0.2	0.024
	= 0.8
0.12	= 0.8	= 0.144
	= 0.2
0.12	= 0.2
		1.00

Если гипотезы альтернативные => конфликты свидетельств:

Знаменатель: 1 – 0.56 = 0.44

/1.00

Метод был реализован в системе INFERNO (J.Quinlan)

Лекция №10 (15.11.11)