Абсолютная и относительная погрешности функции.

При выполнении операций над приближенными числами можно записать оценки для вычисления функций, аргументами которых являются приближенные числа. Общее правило, основанное на вычислении приращения (погрешности) функций при заданных приращениях (погрешностях) аргументов, заключается в следующем:

Пусть в некоторой области G n-мерного евклидова пространства задана непрерывно дифференцируемая функция . Как правило, в практических задачах известны лишь приближенные значения аргументов такие, что , и их абсолютные и относительные погрешности. Вычислим приближенное значение функции по формуле и оценим его абсолютную и относительную погрешности.

Если воспользоваться формулой Лагранжа, то, предполагая, что непрерывно дифференцируема и ее первые частные производные незначительно меняются в области G , получаем

Поэтому, можно положить, что

Формулы (2.1), (2.2) позволяют оценить абсолютную и относительную погрешности любого выражения, в том числе суммы, разности, отношения и т.д.

Нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда функция задается не явной формулой, а как решение нелинейного уравнения , т.е. неявно. Если для такой неявной функции воспользоваться известными формулами нахождения производных , вычисленными , то исследование погрешностей неявной функции сводится к рассмотренному выше случаю.

Определение 5. Задачу вычисления погрешностей функции в случае, когда заданы погрешности аргументов, называют прямой задачей теории погрешностей.

Часто приходится находить такие допустимые неизвестные погрешности аргументов, чтобы погрешность функции не превышала заданного (эпсилон).

Определение 6. Задача определения допустимой погрешности аргументов по заданной допустимой погрешности функции называется обратной задачей теории погрешностей.

Для функции одной переменной допустимую абсолютную погрешность аргумента, если , можно приближенно вычислить по формуле

Для функции нескольких переменных обратная задача теории погрешностей не имеет общего алгоритма решения, а решается только при ряде ограничений. Например, если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то применяют принцип равных влияний, т.е. считают, что все слагаемые в формуле (*) равны между собой. В этом случае допустимые абсолютные погрешности аргументов находят по формулам

Если значение одного из аргументов значительно труднее измерить или вычислить с той же точностью, что и значения остальных аргументов, то погрешность именно этого аргумента надо согласовать с требуемой погрешностью функции.

Сформулируем правила оценки предельных погрешностей при выполнении операций над приближенными числами.

При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение.

При умножении или делении чисел друг на друга их относительные погрешности складываются. При возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени.

Для случая двух приближенных чисел a и b эти правила можно записать в виде формул:

Пример. Найти относительную погрешность функции

Используя формулы, получаем

Полученная оценка относительной погрешности содержит в знаменателе выражение |1–x|. Ясно, что при х ≈ 1 можем получить очень большую погрешность, в этом случае целесообразно раскрыть скобки в знаменателе исходной функции.