4. Алгоритмически неразрешимые проблемы в -исчислении.

Теорема 4(о существовании специальной фиксированной точки).

Для всякого -термасуществует-терм, такой, что«».

Доказательство.

Пусть «», где«»«». Действительно,

«»«»«»«»«»«»«»

«»«»««»»««»»«».

Определение 5. Пусть и– подмножества множества.называетсярекурсивно отделимым от , если существует рекурсивное подмножествомножества, такое, чтои.

Напомним, что подмножество множестваназывается рекурсивным, если существует всюду определенный навычислимый предикат, такой, что.

Определение 6. Подмножество множестваназывается нетривиальным (или собственным подмножеством), если и.

Определение 7. Подмножество -термовзамкнуто относительно отношения -конверсии, если.

Теорема 5 (о рекурсивной неотделимости).

Два произвольных нетривиальных подмножества -термов, замкнутых относительно отношения-конверсии, не являются рекурсивно отделимыми.

Доказательство.

Пусть и– два подмножества-термов, удовлетворяющие условиям теоремы. Так как они не пересекаются (в этом случае результат очевиден) и не пусты, то выберем в них по одному элементу:и. Предположим от противного, что существует рекурсивное подмножество, такое, чтои. Рекурсивностьозначает, что существует всюду определенный на множестве-термов вычислимый предикат, такой, чтоВычислимость этого предиката означает, что существует его-образ «», такой, что«»«»«», если, и«»«»«», если.

Построим терм «», для которого будет иметь место утверждение: если, то«», если, то«». Согласно теореме 4 построим для-терматакой-терм, что«». Возникает вопрос:или? Начнем с первого предположения. Так каки, то. С другой стороны,«», и, в силу замкнутостиотносительно отношения-конверсии,. Получилось противоречие. Рассмотрим второе предположение. Так как, а, то. С другой стороны,«», и, в силу замкнутостиотносительно отношения-конверсии,. Вновь получилось противоречие. Следовательно, исходное предположение о рекурсивной отделимостииложно.

Следствие 1 (теоремы 5).

Множество -термов, имеющих нормальную форму, не рекурсивно.

Доказательство. Достаточно рассмотреть множество -термов, имеющих нормальную форму, и его дополнениедо множества всех-термов. Пара этих множеств удовлетворяет условиям теоремы 5. Если бы множествобыло бы рекурсивно, то это противоречило бы утверждению теоремы (в качестве множестваможно было бы взять само).

Аналогичным образом можно получить и другие результаты. Например,

Следствие 2 (теоремы 5).

Множество -термов, находящихся с заданным термом в отношении конверсии, не рекурсивно.

Следствие 3 (теоремы 5).

Любое нетривиальное подмножество -термов, замкнутое относительно отношения конверсии, не рекурсивно.

И так далее…

Доказательства аналогичны доказательству следствия 1.

4. Исчисление комбинаторов.

При более внимательном рассмотрении -исчисления, прежде всего, правила-редукции, возникает мысль о реализации идей декомпозиции-термов и построения формальной системы, обладающей теми же возможностями универсальной модели вычислимости, что и-исчисление, но без явного введения на синтаксическом уровне-оператора, а, вследствие этого, и без использования понятия связанной переменной,-конверсии и т.д.

Введем три «комбинатора» – три замкнутых, т.е. не содержащих свободных вхождений переменных, -терма в нормальной форме:

Определим специальное (комбинторное) представление -термов и соответствующие правила редукции комбинаторных термов, сохраняющие все свойства и возможности отношения редукции-термов:

Правила редукции:

Заметим, что комбинатор может быть введен по определению с сохранением редукционных свойств:. Действительно,.

1. Church A. The calculi of lambda-conversion // Princeton Univ. Press. Princeton, N.Y., 1941.

2. Curry H.B., Feys R. Combinatory logic // North-Holland, Amsterdam, 1958.

3. Черч А. Введение в математическую логику // М.: «ИЛ». 1960.

4. Карри Х.Б. Основания математической логики // М.: «Мир». 1969.

5. Барендрегт Х. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика // М.: «Мир». 1985.