- •Раздел 1. Часть 1. Оценка напряженно-деформированного состояния (ндс) материалов 5
- •Раздел 1. Часть 1. Оценка напряженно-деформированного состояния (ндс) материалов
- •1. Основы теории напряжений Теория упругости, пластичности и ползучести
- •Краткий исторический очерк развития теории упругости пластичности и ползучести
- •1.1.Основные гипотезы, принципы и определения
- •1.2 Полное напряжение в точке некоторой площадки в массиве
- •1.3.Уравнения равновесия элементарных объемов в массиве
- •1.4. Напряжения в точке произвольной наклонной площадки
- •1.5.Теорема о главных напряжениях
- •1.6. Максимальные касательные напряжения
- •1.7. Девиатор напряжения
- •2 Основы теории деформации
- •2.1 Составляющие перемещения и деформации. Зависимость между ними
- •2.2. Объемная деформация
- •2.3. Тензор деформации
- •2.4. Уравнения неразрывности деформаций
- •3. Обобщенный закон гука
- •3.1. Выражение деформаций через напряжения
- •3.2. Выражение напряжений через деформации
- •3.3. Закон Гука в тензорной форме
- •3.4. Работа упругих сил. Потенциальная энергия деформаций
- •4. О решении задачи теории упругости
- •4.1. Основные уравнения теории упругости и способы их решения
- •4.2. Решение задачи теории упругости в перемещениях
- •4.3. Решение задачи теории упругости g напряжениях при постоянстве объемных сил
- •4.4. Типы граничных условий на поверхности тела
- •4.5. Теорема единственности. Методы решения задачи теории упругости
- •5. Простейшие задачи теории упругости
- •5.1. Чистый изгиб прямого призматического бруса
- •5.2. Кручение круглого бруса постоянного сеченИя
- •6. Плоская задача теории упругости в прямоугольных координатах
- •6.1. Плоская деформация
- •6.2. Обобщенное плоское напряженное состояние
- •6.3. Решение плоской задачи 8 напряжениях, функция напряжений
- •6.4. Методы решения плоской задачи для прямоугольных односвязных областей
- •Расчет пространственных конструкций подземных сооружений методом конечных элементов Основные положения метода
- •6.5. Изгиб консоли силой, приложенной на конце
- •6.6. Балка на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки
- •6.7. Треугольная подпорная стенка
- •6.8. Расчет балки-стенки
- •6.9. Обоснование принципа Сен-Венана
- •7 Плоская задача теории упругости в полярных координатах
- •7.1. Основные уравнения
- •7.2. Простое радиальное напряженное состояние
- •7.3. Клин, нагруженный в вершине сосредоточенной силой
- •7.4. Сжатие клина
- •7.5. Изгиб клина
- •7.6. Действие сосредоточенной сипы, приложенной к границе полуплоскости
- •7.7. Функция напряжений для плоской задачи в полярных координатах
- •7.8. Осесимметричные задачи. Решение в перемещениях
- •7.9. Расчет трубы с толстыми стенками (задача Ламе)
- •7.10. Решение осесимметричной задачи с помощью функции напряжений
- •7.13. Понятие о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство
- •Список рекомендуемой литературы
1.1.Основные гипотезы, принципы и определения
Теория напряжений как раздел механики сплошных сред базируется на ряде гипотез, основными из которых следует назвать гипотезы сплошности и естественного (фонового) напряженного состояния.
Согласно гипотезе о сплошности все тела принимаются за совершенно сплошные как до приложения нагрузки (до деформирования), так и после ее действия. При этом сплошным (непрерывным) остается любой объем тела, в том числе и элементарный, то есть бесконечно малый. В связи с этим деформации тела считаются непрерывными функциями координат, когда материал тела деформируется без образования в нем трещин или прерывистых складок.
Гипотеза об естественном напряженном состоянии предполагает наличие начального (фонового) уровня напряженности тела, обычно принимаемого за нулевой, а фактические напряжения, вызываемые внешней нагрузкой, считаются приращения напряжений над ест естественным уровнем.
Наряду с названными основными гипотезами, в теории напряжений принят и ряд основополагающих принципов, среди которых в первую очередь необходимо назвать наделение тел идеальной упругостью, шаровой изотропией, совершенной однородностью, линейной зависимостью между напряжениями и деформациями.
Идеальная упругость есть способность материалов, подвергаемых деформированию, восстанавливать свою первоначальную форму (размеры и объем) после снятия внешней нагрузки (внешнего воздействия). Практически все горные породы и большинство строительных материалов обладают в известной степени упругостью, к этим материалам можно отнести и жидкости, и газы.
Шаровая изотропия предполагает одинаковость свойств материалов во всех направлениях действия нагрузки, антиподом ей является анизотропия, то есть неодинаковость свойств в различных направлениях (некоторые кристаллы, древесина и др.). При этом нельзя смешивать понятия шаровой изотропии и однородности: например, для однородной структуры древесины свойственна анизотропия – различие в прочности дерева вдоль и поперек волокон. Упругим, изотропным и однородным материалам присуща линейная зависимость между напряжениями и деформациями, описываемая законом Гука, рассмотрению которого посвящен соответствующий раздел учебного пособия.
Основополагающим принципом в теории напряжений (и деформаций, в том числе) является и принцип локальности действия самоуравновешенных внешних нагрузок – принцип Сен-Венана. Согласно этому принципу, приложенные к телу в какой либо точке (линии) уравновешенная система сил вызывает в материале напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения нагрузки, например, по экспоненциальному закону. Примером такого действия может служить разрезание бумаги ножницами, которые деформируют (режут) бесконечно малую часть листа (линию), тогда как остальные части листа бумаги не будут нарушены, то есть будет иметь место локальная деформация. Применение принципа Сен-Венана способствует упрощению математических выкладок при решении задач по оценке НДС за счет замены заданной сложной для математического описания нагрузки на более простую, но эквивалентную ей.
Говоря о предмете изучения в теории напряжений, следует дать и определение самого напряжения, под которым понимается мера внутренних усилий в теле, в пределах некоторого его сечения, распределенных по рассматриваемому сечению и противодействующих внешней нагрузке. При этом напряжения, действующие на поперечной площадке и перпендикулярной ей, называются нормальными; соответственно напряжения, параллельные этой площадке или касающиеся ее, будут касательными.
Рассмотрение теории напряжений упрощается при введении следующих допущений, практически не снижающих точность получаемых решений:
- относительные удлинения (укорочения), а также относительные сдвиги (углы сдвига) много меньше единицы;
- перемещения точек тела при его деформировании малы по сравнению с линейными размерами тела;
- углы поворота сечений при изгибном деформировании тела также очень малы по сравнению с единицей, а их квадраты пренебрежимо малы в сравнении с величинами относительных линейных и угловых деформаций.