6.5. Изгиб консоли силой, приложенной на конце

Задачу будем решать обратным методом в напряжениях. Схема балки изображена на рис. 6.*. Зададимся напряжениями, получаемыми методами сопротивления материалов, и проверим, удовлетворяют ли они основным уравнениям плоской задачи тории упругости исоответствуют ли заданной на­грузке.

В сопротивлении материалов для поперечного изгиба имеем следующую систему напряже­ний:

Рис. 6.*

Подсчитываем входящие сюда величины:

изгибающий момент

поперечная сила

статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси

момент инерции площадисечения относительно нейтральной оси

ширина сечения b(у) = 1.

Подставляя эти величины в уравнения (а), получаем

(6.23)

Собственным весом балки пренебрегаем. Тогда при подстановке напряжений (6.23) в уравнения равновесия (6.2) и уравнение неразрыв­ности деформаций (6.9) убеждаемся, что они обращаются в тождества. Таким образом, напряжения (6.23) удовлетворяют основным уравне­ниям плоской задачи теории упругости.

Переходим к рассмотрению условий на контуре. На верхней и ниж­ней гранях балки никаких нагрузок нет, поэтому должно выполняться следующее условие: при

Подставляя сюда напряжения из (6.23), убеждаемся, что условие действительно выполняется.

На торце нормальных напряжений нет, а касательные должны урав­новесить силу Р.Поскольку закон их распределения неизвестен, со­ответствующее условие должно быть записано в интегральной форме. Итак, прих = 1

Воспользовавшись вновь значениями напряжений (6.23), находим, что условия на торце тоже выполняются,

Таким образом, напряжения, полученные на основании гипотезы плоских сечений, подтверждаются теорией упругости, когда сила Рраспределена по такому же закону, как и касательные напряжения. При другом законе распределения силы Рвыражения напряжений бу­дут иными, но на основании принципа Сен-Венана значительная раз­ница будет только вблизи торца.

Для полного решения задачи вычислим деформации к перемещения По формулам закона Гука для плоской задачи (6.8) после подстановки в них напряжений (6.23) находим:

Согласно формулам (6.4),

(б)

(в)

Интегрируя уравнения (б), находим

(г)

где f₁(y) и f₂(y) — произвольные функции.

Подставляя перемещения (г) в уравнение (в), имеем

или после сокращения и приведения подобных членов

Полученное равенство может существовать при произвольных зна­чениях х и утолько в том случае, если выражения, стоящие в квадратных скобках, постоянны:

(е)

Кроме того, из уравнения (д) вытекает следующая зависимость между постоянными:

(ж)

Интегрируя уравнения (е), находим:

Подставляя полученные функции в формулы (г), получим

(з)

Для определения произвольных постоянных C_l, С₂, С₃и С₄рассмотрим закрепление балки. В сопротивлении материалов все рассужде­ния относят к оси бруса, поэтому защемление в плоской задаче теории упругости должно обеспечивать неподвижность точки 0 и отсутствие поворота оси балки вокруг этой точки, т. е. при х= у = 0

При этих условиях из формул (з) находим

С₄ = С₃=C_l = 0

и из уравнения (ж)

Тогда формулы (з) принимают вид

(6.24)

Из второго уравнения (6.24), положив у = 0, получим уравнение изогнутой оси балки

которое совпадает с уравнением в сопротивлении материалов.

Проверим теперь справедливость гипотезы плоских сечений. Урав­нение произвольного поперечного сечения до деформирования

после деформирования примет вид

После подстановки выражения перемещения и из формул (6.24)

Значит, поперечное сечение не остается плоским, а искривляется по кубической параболе. Следовательно, формула (а) для нормаль­ных напряжений _x, выведенная на основании гипотезы плоских сечений, остается справедливой и при искривлении сечений.