6.3. Решение плоской задачи 8 напряжениях, функция напряжений

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию неизвестных функций Для этого имеются два дифференциальных уравнения равновесия (6.2). К ним следует добавить уравнение неразрывности деформаций (6.5), заменив в нем деформации на напряжения посредством формул закона Гука (6.8) для обобщенного плоского напряженного состояния. После упрощения получим

(а)

Исключим из этого уравнения касательное напряжение _xy. Для этого первое уравнение равновесия (6.2) продифференцируем по х, а второе — по у, и почленно сложим. Считая, как и в пространственной задаче, объемные силы постоянными, найдем

Подставив это соотношение в уравнение (а), получим

или короче

(6.9)

Таким образом, сумма нормальных напряжений в плоской задаче есть гармоническая функция. Это условие носит название уравнения Леей и выведено для обобщенного плоского напряженного состояния. Оно не содержит упругих постоянных и поэтому в случае плоской де­формации имеет такой же вид.

Следовательно, решение плоской задачи теории, упругости при по­стоянстве объемных сил сведено к интегрированию трех уравнений: двух уравнений равновесия (6.2) и уравнения неразрывности деформа­ций (6.9) при обязательном удовлетворении условий на поверхности 6.3).

Решение плоской задачи можно упростить, сведя ее к отысканию иной функции (х,у), называемой функцией напряжений Эри, Ее вы­бирают с таким расчетом, чтобы дифференциальные уравнения равно­весия (6.2) обращались в тождества. Эти условия будут удовлетворе­ны, если напряжения выразить через функцию Эри следующими соот­ношениями:

(6.10)

Действительно, подставляя эти выражения в уравнения равнове­сия (6.2), получаем тождества, т. е. принятая функция напряжений (х, у) является решением этих уравнений,

Подставляя теперь напряжения (6.10) в уравнение неразрывности деформаций (6.9), находим

(б)

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой оператор Лапла­са над функцией. Поэтому уравнение (б) может быть представ­лено с помощью оператора Лапласа так:

или

(в)

Левая часть последнего уравнения читается как «набла четыре и называется двойным оператором Лапласа над функцией . Функция, подчиняющаяся уравнению (в), называется бигармонической, а само уравнение — бигармоническим уравнением. Представим его в раз­вернутом виде:

Произведем дифференцирование:

(6.11)

Выразим условия на поверхности для плоской задачи (6.3) через функцию напряжений с помощью уравнений (6.10):

Итак, плоская задача теории упругости сведена к отысканию од­ной бигармонической функции (х,у), удовлетворяющей заданным условиям на контуре.

6.4. Методы решения плоской задачи для прямоугольных односвязных областей

Отыскание бигармонической функции, удовлетворяющей условиям на контуре прямоугольной области, возможно различными методами. Ограничимся рассмотрением лишь некоторых из них: решением плос­кой задачи в полиномах (целых функциях) и в тригонометрических рядах.

1. Решение в полиномах. Решение плоской задачи осуществимо полуобратным методом, если сначала задаться аналитической формой функции напряжений, удовлетворяющей бигармоническому уравне­нию (6.11), а затем определить, каким нагрузкам на контуре она соот­ветствует. В качестве бигармонической функции можно принимать алгебраические полиномы разных степеней.

Полином первой степени как функция напряжений нас не интересует, так как напряжения, подсчитанные по формулам (6.10), окажутся равными нулю.

Рассмотрим функцию напряжений в виде полинома второй степени

(6.12)

Четвертые производные этой функции:

и, следовательно, уравнение (6.11) обращается в тождество при любых значениях коэффициентов а₂, b_2, с₂. Таким образом, полином второй степени является бигармонической функцией и может быть применен к решению плоской задачи,

Если функцию напряжений принять в виде полинома третьей сте­пени

(6.13)

то уравнение (6.11) по-прежнему будет обращаться в тождество при произвольных значениях коэффициентов а₃, b₃, с₃ и d₃, т. е. полином третьей степени является бигармонической функцией и также может быть применен для решения плоской задачи,

Зададим функцию (х, у) в виде полинома четвертой степени:

(6.14)

Четвертые производные этой функции

подставляя их в бигармоническое уравнение (6.11), получаем

откуда

(а)

Таким образом, не все коэффициенты полинома четвертой степени произвольны. Независимыми могут быть только четыре коэффициен­та, например а₄, b₄, с₄ и d₄ пятый следует взять из соотношения (а)_. Следовательно, для того чтобы полином четвертой степени был бигар­монической функцией, он должен иметь такой вид:

Рассмотрим полином пятой степени:

(6.15) Четвертые производные этой функции:

Подставляя их в бигармоническое уравнение (6.11) и группируя слагаемые по аргументам хну, получаем

Чтобы это уравнение обращалось в тождество при любых значени­ях аргументов, необходимо коэффициенты при этих переменных приравнять нулю:

(б)

Если независимыми принять коэффициенты а₅, b₅, с₅ и d₅, то осталь­ные два выразятся через них согласно уравнениям (б) следующим образом:

(в)

Внося коэффициенты e₅ и f₅ из соотношений (в) в формулу (6.15), находим

(6.16)

В такой форме полином пятой степени является бигармонической функ­цией и применим к решению плоской задачи.

С помощью алгебраических полиномов можно решить ряд простых задач: задачу о чистом изгибе балки, изгибе балки на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки, задачу о треуголь­ной подпорной стенке,

2. Метод тригонометрических рядов Рибьера—Файлона. В качест­ве функции напряжений (х, у) можно применять тригонометричес­кие ряды Исследуем с этой целью тригонометрическую функцию

где Y функция, зависящая только от координаты у;

(г)

n - любое целое число; l - длина пластинки в направлении оси х. Выясним, при каких условиях функция  является бигармони­ческой,  удовлетворяет уравнению (6.11). Подсчитаем четвертые производные функции :

Подставляя их в указанное уравнение, получаем

или

Это уравнение обращается в тождество при любых значениях аргумента х, если Y(у) удовлетворяет дифференциальному уравнению

решение которого можно представить с помощью гиперболических функции

(6.17)

Подставляя это решение в выражение функции ср, получим бигармоническую функцию в виде

Аналогично можно показать, что функция

также является бигармонической и может быть применена для решения плоской задачи,

Если числу п в соотношении (г) давать различные значения, то каждый раз будут получаться новые функции, отличающиеся значе­ниями параметра а и постоянных А_п, В_п, С_п, D_n. Поэтому общее реше­ние бигармонического уравнения (6Л1) может быть представлено как сумма всех его возможных частных решений, т.е_. в виде бесконечного ряда

(6.18)

Постоянные А_п, В_п, ..., С'_n, D^’_n определяются из условий на конту­ре. Нагрузка на контуре должна быть разложена в тригонометричес­кий ряд Фурье по синусам и косинусам,

С помощью функции напряжений (6.18), добавляя в случае необ­ходимости степенные полиномы, можно получить решения для более широкою круга задач, чем с помощью только степенных полиномов. Среди них можно назвать задачу об изгибе балки-стенки, задачу о дей­ствии на пластинку нагрузок, распределенных вдоль контура по лю­бому закону (в том числе сосредоточенной силы),