4. О решении задачи теории упругости

4.1. Основные уравнения теории упругости и способы их решения

В предыдущих главах получены три группы формул, которые об­разуют основные уравнения теории упругости.

1. Статические уравнения. В эту группу входят диф­ференциальные уравнения равновесия (1.1):

2. Геометрические уравнения. В эту группу входят геометрические соотношения Коши (2.3):

и уравнения неразрывности деформаций (2.8):

3. Физические уравнения. В эту группу входят формулы закона Гука либо в прямой форме (3.2):

либо в обратной форме (3.8):

. (4.6)

Имея эти зависимости, можно приступить непосредственно к реше­нию задачи теории упругости о напряжениях и деформациях, возни­кающих в упругом изотропном теле под действием внешних сил.

Перечисленные уравнения содержат 15 неизвестных функций:

шесть составляющих напряжений

шесть составляющих деформаций

и три составляющие перемещения

и (х_, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z).

Для отыскания этих функций располагаем 15 уравнениями: тремя дифференциальными уравнениями равновесия (4.1), шестью геометри­ческими соотношениями Коши (4.3) и шестью формулами закона Гука (4.5) или (4.6), Таким образом, с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию указанных 15 урав­нений при удовлетворении условий на поверхности (4.2).

Решение уравнений можно вести различными способами в зависи­мости от того, какие величины приняты за основные неизвестные,

1. Решение в перемещениях, когда за неизвестные приняты три составляющих перемещения: и (х_, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z).

2. Решение в напряжениях, когда за неизвестные приняты шесть составляющих напряжений: _x(х_, у, z), _y (х_, у, z), _z(х_, у, z), _xy (х_, у, z), _yz (х_, у, z), _zx (х_, у, z).

3. Решение в смешанной форме, когда за неизвестные приняты не­ которые составляющие перемещений и некоторые составляющие напряжений.

4.2. Решение задачи теории упругости в перемещениях

Для отыскания неизвестных трех составляющих перемещения и (х_, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z) необходимо иметь три уравнения, которые можно получить из дифференциальных уравнений равнове­сия (4.1), выразив в них напряжения через перемещения. Воспользу­емся первым уравнением (4.1) и подставим в него напряжения из фор­мул закона Гука (4.6)_. В результате получим

Затем в записанное уравнение подставим значения деформаций (4.3), После группировки слагаемых находим

(а)

Выражение в первых скобках можно обозначить сокращенно:

Этот дифференциальный оператор называется оператором Лапласа над функцией и (х_, у, z) и читается «набла два и».

Выражение, стоящее во вторых скобках, можно упростить следую­щим образом:

После указанных сокращений и упрощений уравнение (а) прини­мает вид

Аналогично преобразуем и два других дифференциальных урав­нения равновесия (4.1). Таким образом, получаем систему уравнений для решения задачи теории упругости в перемещениях:

Эти уравнения называются уравнениями Ламе. Они объединяют статические, геометрические и физические предпосылки теории упру­гости, рассмотренные в предыдущих главах. Действительно, в них со­держатся условия равновесия каждого элемента тела, геометрические характеристики деформации u, v, w,  и физические характеристики материала  и .

Так же как уравнения равновесия, преобразуем условия на поверх­ности, Для этого в первое уравнение (4.2) подставим выражения на­пряжений через деформации (4.6):

Подставим сюда значения деформаций (4.3) и сгруппируем все члены следующим образом:

Выражение в первых скобках представляет собой производную функции и (х, у, z) по направлению нормали v к поверхности тела. Действительно, вычисляя частную производную сложной функции и (х, у, z) по переменной v, получаем

Производные координат по v представляют собой соответствующие направляющие косинусы нормали v:

Таким образом,

И уравнение принимает вид

Точно так же можно преобразовать два других уравнения (4.2). В результате приходим к следующим трем условиям на поверхности, выраженным через перемещения:

Теперь можно составить план непосредственного решения задачи теории упругости в перемещениях. Для отыскания трех составляющих перемещения u, v и w необходимо проинтегрировать три уравнения Ламе (4.8) и удовлетворить условиям на поверхности (4.9). По найден­ным перемещениям из геометрических соотношений Коши (4.3) опре­деляют составляющие деформации, а затем из формул закона Гука (4.6) - составляющие напряжений.