Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

А.Г. ПРОТОСЕНЯ

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Конспект лекций

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2014

Оглавление

Раздел 1. Часть 1. Оценка напряженно-деформированного состояния (ндс) материалов 5

1. Основы теории напряжений 5

Теория упругости, пластичности и ползучести 5

Краткий исторический очерк развития теории упругости пластичности и ползучести 6

1.1.Основные гипотезы, принципы и определения 11

1.2 Полное напряжение в точке некоторой площадки в массиве 13

1.3.Уравнения равновесия элементарных объемов в массиве 17

1.4. Напряжения в точке произвольной наклонной площадки 21

1.5.Теорема о главных напряжениях 22

1.6. Максимальные касательные напряжения 25

1.7. Девиатор напряжения 27

2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ 29

2.1 Составляющие перемещения и деформации. Зависимость между ними 29

2.2. Объемная деформация 33

2.3. Тензор деформации 33

2.4. Уравнения неразрывности деформаций 37

3. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 40

3.1. Выражение деформаций через напряжения 40

3.2. Выражение напряжений через деформации 43

3.3. Закон Гука в тензорной форме 45

3.4. Работа упругих сил. Потенциальная энергия деформаций 46

4. О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 49

4.1. Основные уравнения теории упругости и способы их решения 49

4.2. Решение задачи теории упругости в перемещениях 51

4.3. Решение задачи теории упругости g напряжениях при постоянстве объемных сил 54

4.4. Типы граничных условий на поверхности тела 56

4.5. Теорема единственности. Методы решения задачи 57

теории упругости 57

5. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 60

5.1. Чистый изгиб прямого призматического бруса 60

5.2. Кручение круглого бруса постоянного сеченИя 68

6. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 72

6.1. Плоская деформация 72

6.2. ОБОБЩЕННОЕ ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 76

6.3. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ 8 НАПРЯЖЕНИЯХ, ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 78

6.4. Методы решения плоской задачи для прямоугольных односвязных областей 81

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 85

Основные положения метода 85

6.5. Изгиб консоли силой, приложенной на конце 92

6.6. Балка на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки 96

6.7. Треугольная подпорная стенка 101

6.8. Расчет балки-стенки 107

6.9. Обоснование принципа Сен-Венана 113

7 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 115

7.1. Основные уравнения 115

7.2. Простое радиальное напряженное состояние 121

7.3. Клин, нагруженный в вершине сосредоточенной силой 123

7.4. Сжатие клина 126

7.5. Изгиб клина 129

7.6. Действие сосредоточенной сипы, приложенной к границе полуплоскости 131

7.7. Функция напряжений для плоской задачи в полярных координатах 137

7.8. Осесимметричные задачи. Решение в перемещениях 139

7.9. Расчет трубы с толстыми стенками (задача Ламе) 141

7.10. Решение осесимметричной задачи с помощью функции напряжений 145

7.13. Понятие о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство 147

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 150

Раздел 1. Часть 1. Оценка напряженно-деформированного состояния (ндс) материалов

1. Основы теории напряжений Теория упругости, пластичности и ползучести

Теория упругости и пластичности представляет собой раздел ме­ханики, изучающий деформации в твердом теле, вызванные физичес­кими воздействиями, и возникающие при этом внутренние силы как в состоянии покоя, так и в состоянии движения.

Такие же задачи решаются в сопротивлении материалов. Однако между теорией упругости и пластичности и сопротивлением материа­лов имеются существенные различия, которые заключаются прежде всего в исходных предпосылках и методах решения задач.

В сопротивлении материалов рассматриваются приближенные те­оретические методы, использующие кинематические или статические гипотезы (например, гипотеза плоских сечений), причем основным объ­ектом сопротивления материалов являются элементы стержневых систем.

Основные предпосылки теории упругости и пластичности отлича­ются большей широтой и для разработки расчетных методов исполь­зуется математический аппарат более строгий, чем в сопротивлении материалов.

В теории упругости и пластичности рассматриваются задачи, ко­торые не могут быть решены методами сопротивления материалов. Кроме того, аппарат теории упругости и пластичности позволяет дать оценку точности решения задач, рассматриваемых в сопротивлении материалов.

В теории упругости и пластичности применяют и приближенные методы. В связи с этим различают математическую и прикладную тео­рию упругости и пластичности, причем в последнем случае решение задач базируется на ряде дополнительных допущений.

Рассматриваемая в данном пособии теория упругости называется классической или линейной. В ее основе лежит представление об иде­ально упругом теле (материале). Для такого тела характерна наибо­лее простая линейная зависимость между напряжениями и деформа­циями и диаграмма растяжения— сжатия представляет собой наклонную прямую проходящую через начало координат

Если материал даже при малых напряжениях не подчиняется ли­нейному закону деформирования или процесс деформирования пере­шел за предел пропорциональности и диаграмма изображается кривой, то в качестве физического закона деформирования следует при­нять уравнение этой кривой  = f(). Если при медленной разгрузке процесс будет протекать по кривой, повторяя в обратном порядке те же состояния, что и при нагружении, а график процесса возвратит­ся в начальную точку О, то такой материал принято называть нели­нейно упругим. Законы деформирования нелинейно упругого тела изу­чаются нелинейной теорией упругости.

Теория пластичности в отличие от теории упругости рассматривает тела, которые не подчиняются законам упругости либо с самого начала при­ложения к ним внешних воздействий, либо начиная с некоторой стадии на­гружения.

Теория ползучести в отличие от теории упругости и пластичности изучает изменение во времени напря­жений и деформаций в твердом теле, возникших в результате начально­го нагружения.

Реальные деформируемые твердые материалы обладают разнообраз­ными механическими свойствами. Поэтому в рамках названных выше теорий применяются различные расчетные модели материалов, отра­жающие специфику их деформирования под нагрузкой. С моделями та­ких материалов и методами их расчета можно познакомиться по более полным руководствам.