6. Определяем дефицитность ресурсов
На фирме цинк и медь и будет использовано полностью, а олово нет. Олова используется 200 кг, а остаётся 100 кг.
7. Найдём интервалы устойчивости по сырью и ценам
Чтобы план сохранял структуру, интервалы изменения ресурсов каждого в отдельности при неизменности других имеют вид
Сырьё |
Ограничение Правая часть |
Допустимое увеличение |
Допустимое уменьшение |
Интервалы устойчивости |
Цинк |
100 |
20 |
25 |
(75,120) |
Медь |
120 |
20 |
20 |
(100,140) |
Олово |
300 |
1E+30 |
100 |
(200, ) |
Продук- ция |
Целевой коэф- фициент, цена |
Допустимое увеличение |
Допустимое уменьшение |
Интервалы устойчивости |
Первая |
300 |
200 |
50 |
(250,500) |
Вторая |
500 |
100 |
200 |
(300,600) |
8. Целесообразность выпуска третьего изделия
Для проверки
целесообразности выпуска третьего
изделия по цене
400
грн. и затратами металла
,
и
килограммов соответственно находим
величину
.
Затраты на единицу продукцию больше её цены, поэтому её нецелесообразно включать в план.
2.3. Симплекс-метод с искусственным базисом. Двойственный симплекс-метод
Задача 2.3.1. Решить задачу методом искусственного базиса и с помощью «Поиска решений», написать двойственную задачу и записать её решение.
Решение.
Переходим к канонической форме модели.
Для этого с левой части первого уравнения
вычитаем балансовую переменную
,
а в левую часть третьего уравнения
прибавляем балансовую переменную
.
В целевую функцию их не дописываем
(дописываем с нулевыми коэффициентами).
Получаем задачу линейного программирования
в канонической форме
При решении задачи линейного программирования симплекс-методом предполагалось, что в каждом уравнении есть базисная переменная. Это переменная, которая является изолированной, т.е., переменная, которая входит лишь в одно уравнение с коэффициентом 1 и отсутствует в остальных уравнениях.
Если этого нет, то базисные переменные можно формально дописать в соответствующие уравнения.
В первое и второе
уравнения прибавляем искусственные
переменные х6
и х7
с коэффициентом равным единице. В целевую
функцию их дописываем с большим
отрицательным коэффициентом
.
Получим расширенную задачу с полным
единичным базисом.
Задачу решаем симплекс методом. Ясно, что искусственные переменные должны равняться нулю для того, чтобы выполнялись условия равенства системы ограничений. Если среди них окажутся ненулевые, то исходная задача несовместна. Иначе целевая функция расширенной задачи будет неограниченно уменьшаться с ростом М и не сможет достичь максимума.
Расширенная задача
решается обычным симплекс-методом.
Числа в индексной строке имеют вид a+bM.
Для их записи в симплексной таблице
индексную строку разбиваем на две
подстроки и записывают их в виде
.
Другими словами индексную строку
записывают в двух уровнях: в (m+1)
строку вносят а,
а в (m+2)
b.
Знак числа
определяется знаком числа b
если
.
Поэтому сначала направляющий столбец
выбирают по нижней строке, а после
перевода всех искусственных переменных
в свободные оптимизация производится
по верхней индексной строке.
Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем систему уравнений равносильную системе уравнений исходной задаче.
При использовании метода искусственного базиса в качестве критерия надо руководствоваться следующим правилом:
Если оптимальное решение М-задачи содержит искусственные переменные или М-задача неразрешима, то исходная задача так же неразрешима.
Замечание. Если m+2 индексная строка в результате преобразований превращается в нулевую (с неположительными оценками искусственных векторов), то это свидетельствует о том, что построен начальный опорный план исходной задачи и дальнейшая оптимизация производится по предпоследней индексной строке.
Имеем начальный опорный план
и
Проверяем полученный план на оптимальность. Для этого составляем симплекс-таблицу (табл. 2.3.1).
Таблица 2. 3.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
–1 |
0 |
0 |
–М |
–М |
|
|
||||
|
|
–M |
6 |
1 |
1 |
2 |
–1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
–M |
4 |
–1 |
2 |
[2] |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
(–1) (1) |
|
|
|
0 |
6 |
4 |
–1 |
–2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
– |
|
|
|
|
0 |
–2 |
–1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||
|
–10 |
0 |
–3 |
–4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||
Покажем как находится индексная строка.
,
,
,
и так далее.
План будет
оптимальным, если все оценки в индексной
строке положительны или нулевые, т. е.
.
Если находится
минимум
,
то в целевую функцию искусственные
переменные дописываются с большим
положительным числом
.
Целевая функция достигнет минимального
значения, если все оценки будут
неположительными
.
Первый план не
оптимален. В нижней индексной строке
наименьшую отрицательную оценку имеет
.
Вектор, выводимый из базиса определяем
по симплексному отношению
.
Из базиса выводим вектор
.
Составляем новую симплекс-таблицу.
После выведения из базиса столбцов, которые отвечают искусственным переменным, эти столбцы дальше можно не вычислять (они обведены двойной линией), но при рассмотрении двойственных задач их обязательно вычисляют.
Составляем вторую симплекс-таблицу
Таблица 2.3.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
–1 |
0 |
0 |
–М |
–М |
|
|
||||
|
|
–M |
2 |
[2] |
–1 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
–1 |
1 |
(1/4)( -3/2) |
|
|
|
–1 |
2 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
– |
| |
|
|
|
0 |
10 |
3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
10/3 |
|
|
|
|
–2 |
|
–2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||
|
–2 |
–2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|||
Второй план
тоже не оптимальный, вектор
имеет отрицательную оценку. Составляем
третью симплекс-таблицу. В базис вводим
вектор
,
из базиса выводим вектор
по симплексному отношению
.
Таблица 2.3.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
–1 |
0 |
0 |
–М |
–М |
|
|
|||
|
2 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
– |
|
|
–1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
| | |
|
0 |
7 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
||
Третий план
тоже не оптимальный, вектора
имеют отрицательные оценки. Составляем
четвёртую симплекс-таблицу. В базис
вводим вектор
,
из базиса выводим вектор
по симплексному отношению
.
Таблица 2.3.4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
–1 |
0 |
0 |
–М |
–М |
|||
|
|
2 |
12/5 |
1 |
0 |
0 |
–1/5 |
1/5 |
1/5 |
0 |
|
|
–1 |
2/5 |
0 |
0 |
1 |
–7/10 |
–3/10 |
7/10 |
–1/2 |
|
|
1 |
14/5 |
0 |
1 |
0 |
3/5 |
2/5 |
–3/5 |
1 |
|
|
36/5 |
0 |
0 |
0 |
9/10 |
11/10 |
–9/10 |
3/2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четвёртый план оптимальный.
,
.
Все искусственные переменные равны
нулю, поэтому значения начальных
переменных определяют оптимальный
план.
Ответ.
Решим задачу с помощью Поиска решений в Excel