2.2. Решение задач линейного программирования и анализ полученного решения

Задача 2.2.1. Фима «Молот»» получила заказ на изготовление деталей двух видов из цинка, меди и олова. Запасы сырья и прибыль от реализации каждого изделия внесены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1. Исходные данные выпуска продукции задачи 2.2.1

Сырьё	Продукция (расходы сырья на единицу продукции, кг)		Запасы сырья, кг
	P1	P2
Цинк	0,5	1	100
Медь	1	1	120
Олово	3	1	300
Цена ед. продукции	300 грн.	500 грн.
Количество продукции, ед.	x1	x2

Найти план выпуска продукции, чтобы доход от её реализации был максимальный.

Решить задачу: 1) графически, 2) с помощью симплекс-метода, 3) с помощью «Поиска решений» в Excel, 4) составить двойственную задачу, 5) найти решение двойственной задачи, 6) определить дефицитность ресурсов, 7) найти интервалы устойчивости по сырью и ценам, 8) проверить целесообразность выпуска третьего изделия по цене 400 грн. и затратами металла 1кг, 0,5 кг и 2,5 кг соответственно.

Решение. Обозначим через х₁ количество выпуска продукции первого вида, х₂ – второго, Z – доход от реализации всей продукции. Тогда математическая модель задачи имеет вид

1. Решаем задачу графически.

1) Находим область допустимых решений (ОДР). Для этого строим граничные прямые и определяем полуплоскости, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам-ограничениям.

Рассмотрим первое ограничение . Строим прямую как прямую в отрезках по двум точкам: , и , . Берём произвольную точку, не лежащую на этой прямой, например О(0,0). Подставляем её координаты в первое ограничение. Если неравенство в этой точке выполняется, то первое ограничение определяет полуплоскость, которая содержит выбранную точку, если нет, то оно определяет полуплоскость, в которой не лежит выбранная точка. В точке О(0,0) неравенство выполняется следующим образом: . Поэтому первое ограничение определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой . На рис. 2.2.1 это отмечено двумя стрелками.

Рассмотрим второе ограничение . Строим прямую как прямую в отрезках по двум точкам: , и , . Берём произвольную точку, не лежащую на этой прямой, например О(0,0). Подставляем её координаты во второе ограничение. В точке О(0,0) неравенство выполняется следующим образом: . Поэтому второе ограничение определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой . На рис. 2.2.1 это отмечено двумя стрелками.

Рассмотрим третье ограничение . Строим прямую по двум точкам: , и , . Берём произвольную точку, не лежащую на этой прямой, например О(0,0). Подставляем её координаты в третье ограничение. В точке О(0,0) неравенство выполняется следующим образом: . Поэтому третье ограничение определяет полуплоскость, расположенную ниже прямой . На рис. 2.2.1 это отмечено двумя стрелками.

определяет правую полуплоскость относительно оси 0х₂,

определяет верхнюю полуплоскость относительно оси 0х₁.

Из условий следует, что ОДР находится в первой четверти.

Выделяем ОДР пятиугольник OABCD.

2) Строим вектор или вектор ему коллинеарный – направление наибольшего возрастания функции Z

.

3) Строим прямую  вектору , желательно, чтобы она пересекала ОДР. Можно строить прямую .

4) Перемещаем эту прямую в направлении вектора , пока она станет опорной к ОДР. Опорной прямой выпуклого многоугольника называется прямая, которая имеет хотя бы одну общую точку с этим многоугольником и он расположен по одну сторону от нее. Перемещаемая прямая становится опорной в точке B.

Рис. 2.2.1. Графическое решение задачи 2.2.1

5) Находим координаты точки B:

6) Находим значение целевой функции в точке :

Ответ. Фирма для получения максимальной прибыли 52 000 грн. должна изготовить 40 деталей первого вида и 80 деталей – второго.