2. 5. Задача динамического программирования

Задача 2.5.1. Задача о распределении капитальных вложений

1. Постановка задачи. Концерн, состоящий из 4 крупных предприятий машиностроения решил выделить на их реконструкцию 500 тыс. $. Эффективность функционирования го предприятия после его реконструкции представлена функциями , где размер выделенной ему суммы и определена в табл. 2.5.1.

Таблица 2.5.1

	0	100	200	300	400	500
	0	30	33	35	39	43
	0	32	34	38	42	45
	0	19	27	33	40	43
	0	28	31	33	37	42

Необходимо распределить капиталовложения между предприятиями таким образом, чтобы эффективность работы всех предприятий была максимальной.

2. Построим математическую модель задачи.

.

3. Рекуррентное соотношение Беллмана для нахождения условно-опти- мальных управлений:

0,

где максимальная эффективность предприятий, если им выделено капиталовложений.

4. Решение задачи.

Если мы выделили все средства 1-му предприятию, то по таблице 1 видим, что общий доход будет составлять 43 ед.

Выделим средства первому и второму предприятию. Тогда, пользуясь рекуррентным соотношение Беллмана получим условно-оптимальные управления следующие:

.

Тогда

Для удобства расчетов составлены таблицы:

Таблица 2.5.2

		0	100	200	300	400	500
		0	30	33	35	39	43
0	0	0	30	33	35	39	43
100	32	32*	62*	65*	67	71	´
200	34	34	64	67*	69	´	´
300	38	38	68	71	´	´	´
400	42	42	72*	´	´	´	´
500	45	45	´	´	´	´	´

Выпишем в таблицу условно-оптимальное управление на втором шаге.

Таблица 2. 5.2а

	0	100	200	300	400	500
	0	32	62	65	67	72
	0	100	100	100	200	400

оптимальное выделение средств второму предприятию при распределении их между двумя первыми.

Для трех предприятий:

Таблица 2.5.3

		0	100	200	300	400	500
		0	32	62	65	67	72
0	0	0	32*	62*	65	67	72
100	19	19	51	81*	84	86	´
200	27	27	61	89*	92	´	´
300	33	33	65	95*	´	´	´
400	40	40	72	´	´	´	´
500	43	43	´	´	´	´	´

Таблица 2.5.3 а

	0	100	200	300	400	500
	0	32	62	81	89	95
	0	0	0	100	200	300

оптимальное выделение средств третьему предприятию при распределении их между тремя первыми.

Для четырех предприятий:

Таблица 2.5.4

		0	100	200	300	400	500
		0	32	62	81	89	95
0	0	0	32*	62*	81	89	95
100	28	28	60	90*	109*	117*	´
200	31	31	63	93	112	´	´
300	33	33	65	95	´	´	´
400	37	37	69	´	´	´	´
500	42	42	´	´	´	´	´

Таблица 2.5.4а

	0	100	200	300	400	500
	0	32	62	90	109	117
	0	0	0	100	100	100

Таким образом, из табл. 2.5.4. а видим, что max эффект составляет . Теперь будем находить безусловно-оптимальное управление. Для этого будем использовать таблицы 2.5.2а , 2.5.3а 2.5.4а . Максимальный эффект получается, если четвертому предприятию мы выделим 100 тыс. т.е .

Если трем предприятиям выделим 400 тыс. $, то оптимальный эффект будет при выделении третьему предприятию 300 тыс. $, т.е. (из табл. 2.5.3а).

Теперь видно, что для первого и второго предприятия остается 100 тыс. $. Из таблицы 2.5.2а видим, что max эффект при выделении первым двум предприятиям 100 тыс. будет, если второму предприятию мы выделим 100 тыс. $, т.е. . Тогда .

Ответ: ; ; ; и

. .

62