2.4. Транспортная задача, ее решение методом потенциалов и в Excel

Задача 2.4.1. Три фермерских хозяйства А₁, А₂, А₃ ежедневно могут доставлять в магазины соответственно 70, 50 и 60 ц картофеля для обеспечения четырёх торговых точек: В₁, В₂, В₃, В₄ . Стоимость перевозки 1 ц картофеля и потребность торговых точек в картофеле указаны в табл. 2.4.1.

Таблица 2.4.1. Исходные данные транспортной задачи

Фермерские хозяйства	Затраты на перевозку 1 ц картофеля по торговым точкам				Запасы картофеля, ц
	В1	В2,	В3	В4
А1	6	5	7	9	70
А2	9	9	6	5	50
А3	5	9	3	8	60
Потребности в картофеле, ц	20	80	20	40

Определить план поставки картофеля в каждую точку для удовлетворения потребностей, чтобы суммарные транспортные издержки были минимальными.

Решение.

1. Проверяем наличие закрытости транспортной модели.

Задача называется закрытой, если a₁ +a₂ +…+a_m = b₁+ b₂ +…+b_n.

Если a₁ +a₂ +…+a_m b₁+ b₂ +…+b_n, то задача называется открытой. a₁, a₂, …, a_m – запасы картофеля у поставщиков, b₁, b₂ ,…, b_n – потребности потребителей.

В нашем случае ,

.

Следовательно задача открытая.

Составим математическую модель задачи.

Введём переменные – количество картофеля, которое планируется перевозить от i-го фермерского хозяйства к j-й торговой точке (например, х₁₁ – количество картофеля, которое планируется перевозить от первого фермерского хозяйства к первой торговой точке), Z – суммарные транспортные издержки, которые надо минимизировать:

С первого фермерского хозяйства вывозится ц картофеля и так как задача открытого типа, запасы картофеля больше потребностей, то эта величина не превосходит 70 ц, что записывается в виде неравенства . Количество привезённого картофеля на первую торговую точку равно и оно равно 20 ц, т.е х₁₁+х₂₁+х₃₁ = 1700. Поступая аналогично по остальным фермерским хозяйствам и торговым точкам, получаем математическую модель задачи:

Так как спрос больше потребления, то вводим фиктивного потребителя с потребностью равнёй 180 – 160 =2 0 ц и тарифами перевозок равными нулю. Для этого в матрицу транспортной задачи вводим дополнительный столбец, соответствующую фиктивному потребителю с потребностями и тарифами перевозок .

Для удобства данные запишем в виде табл. 2.4.2.

Таблица 2.4.2. Закрытая транспортная задача примера 2.4.2

bj ai	20	80	20	40	20
70	6	5	7	9	0
50	9	9	6	5	0
60	5	9	3	8	0

2. Методом северо-западного угла находим начальный опорный план. Сущность метода северо-западного угла состоит в том, что максимально возможные поставки последовательно вводятся в северо-западную клетку таблицы.

У первого поставщика берём 20 ц картофеля и отдаём их первому потребителю. 20 записываем в клетку (1;1). Оставшиеся 50 ц картофеля даём второму потребителю. Второму потребителю надо ещё 30 ц картофеля. Его берём у второго поставщика. Оставшиеся 20 ц картофеля у второго поставщика распределяем третьему потребителю. От третьего поставщика 40 ц отдаём третьему потребителю и 20 ц четвёртому.

Таблица 2.4.3. Первоначальное распределение

bj ai	20		80			20		40			20
70		6		5			7			9		0
	20		50
50		9		4			6			5		0
			30		20
60		5		9			3			8		0
									40		20

Проверяем баланс по каждой строке и каждому столбцу.

3. Проверяем распределение на вырожденность. Заполненных клеток должно быть m+n–1=3+5–1=7. Мы получили шесть заполненных клеток. Такое распределение называется вырожденным. Для того, чтобы сделать распределение невырожденным, ставят поставку объемом равным нулю в клетку, которая образует с другими заполненными так называемую цепочку (цикл) перераспределения. Это означает, что от каждой заполненной клетки можно перейти в любую другую заполненную клетку перемещаясь только горизонтально и вертикально. делая повороты только в заполненных клетках. В одну незаполненную клетку (3;4) ставим 0 и считаем ее заполненной. Ноль можно ставить не в любую незаполненную клетку. В нашем случае ноль нельзя ставить в клетки (1;3) и (2;1).

Получили начальное распределение

,

Z(X₁) = 20·6+50·5+30·4+20·6+40·8= 930 (грн.).

4. Проверяем полученный план на оптимальность. Проверка текущего опорного плана на оптимальность осуществляется методом потенциалов. Находим потенциалы. Каждому поставщику и потребителю ставим в соответствие числа , называемые потенциалами таким образом, чтобы их сумма равнялась тарифам соответствующих заполненных клеток.

если (i;j) заполненная клетка.

Таблица 2.4.4. Потенциалы и оценки оптимальности

bj ai	20		80			20		40			20		ui
70		6		5			7			9		0	u1 = 0
	20		50		[0]				[ 3]		[ 2]
50		9		4			6			5		0	u2 = 1
	[ 4]		30		2 0				0		[ 3]
60		5		9			3			8		0	u3 = 2
	[3]		[ 2]		[ 6]				40		20
vj	v1 = 6		v2 = 5		v3 = 7				v3 = 6		v4 = 2

Для нахождения потенциалов получаем систему уравнений

Система состоит из семи уравнений с восьмью неизвестными. Она неопределённая, то есть имеет бесконечное множество решений. Один из потенциалов приравниваем к нулю, а остальные находятся однозначно из этой системы. Пусть . Тогда из первого уравнения находим , из второго и т.д. Систему можно не выписывать, а значения потенциалов находить непосредственно в таблице.

5. Находим оценки незаполненных клеток по формуле

:

Их значения записываем в клетках таблицы в нижнем левом углу. Величины груза выделены жирным шрифтом, а значения оценок выделены квадратными скобками. Оценка 3 в клетке (3;1) показывает, что если в эту клетку поместить единицу груза, то стоимость перевозок уменьшится на три гривны. Действительно, для сохранения баланса с клетки (3;4) необходимо отнять единицу груза, в клетку (2;4) необходимо прибавить единицу груза, с клетки (2;2) необходимо отнять единицу груза, в клетку (1;2) необходимо добавить единицу груза, с клетки (1;1) отнять единицу груза. Стоимость перевозки будет соответственно меняться: , т.е. уменьшиться на 3 грн.

Отсюда следует, что текущий опорный план будет оптимальным, если для всех незаполненных клеток оценки будут неположительными:

6. Начальный план не является оптимальным, поскольку имеются положительные оценки для пустых клеток. Переходим к новому опорному плану. Переход осуществляется заполнением клетки, которой соответствует наибольшая положительная оценка оптимальности. В нашем случае это клетка (3;3). Для клетки (3;3) строим цикл пересчёта (цепочку перераспределения). Циклом для незаполненной клетки называется последовательность заполненных клеток, в которые поочерёдно добавляется и вычитается груз для сохранения баланса, если в незаполненную клетку поместить некоторый груз. Для каждой свободной ячейки всегда существует только одна цепочка перераспределения. Она составляется таким образом, что на каждом углу цепочки стоят заполненные клетки, а один угол цепочки находится в клетке, куда осуществляется перераспределение.

0 + ρ

20 – ρ

40 – ρ

+ ρ

Рис. 2.4.1. Цикл перераспределения для клетки (3;3)

7. Определяем груз ρ, который будем перемещать по циклу, он равный минимуму грузов стоящих в клетках, в которых он вычитается от объемов в клетках

ρ = min (40,20) = 20.

8. Составляем новую таблицу. Клетка (3;3) заполняется, а клетка (2;3) освобождается. Так как в клетку (3;3) будем ставить груз равный 20 ц, то значение целевой функции при втором распределении уменьшится следующим образом:

.

Таблица 2.4.5. Потенциалы и оценки оптимальности второго плана

bj ai	20		80			20		40			20		ui
70		6		5			7			9		0	u1 = 0
	2 0		5 0		[ 6]				[ 3]		[ 2]
50		9		4			6			5		0	u2 = -1
	[ 4]		30		[ 6]				20		[ 3]
60		5		9			3			8		0	u3 = 2
	[ 3]		[ 2]		20				20		20
vj	v1 = 6		v2 = 5		v3 = 1				v3 = 6		v4 = 2

Z(X₂) = 20·6+50·5+30·4+20·5+20·3+20·8= 810 (грн.)

9. Возвращаемся к пункту 4 и продолжаем итерации, пока получим все оценки незаполненных клеток неположительные.

Находим потенциалы и оценки оптимальности для незаполненных клеток второго опорного плана. Вычисления выполняем непосредственно в табл. 2.4.5.

Второй план также не оптимален, так как имеется положительная оценка для свободной клетки (3;1). Будем делать перераспределение в клетку (3;1). Для этой клетки составляем цепочку перераспределения и определяем груз, который будем перемещать по этой цепочке.

50 + ρ

20 – ρ

20 + ρ

30 – ρ

20 – ρ

+ ρ

Рис. 2.4.2. Цепочка перераспределения для клетки (3;1)

ρ = min (20,30,20) = 20

Составляем третью таблицу. Освобождается две клетки (1;1) и (3;4), но незаполненной считаем только (1;1), так как в ней находится больший тариф. В клетку (3;4) ставим нуль и считаем её заполненной.

Таблица 2. 4. 6. Потенциалы и оценки оптимальности третьего плана

bj ai	20		80			20		40			20		ui
70		6		5			7			9		0	u1 = 0
	[ 3]		70		[ 7]				[ 3]		[ 2]
50		9		4			6			5		0	u2 = 1
	[ 7]		10		[ 6]				40		[ 3]
60		5		9			3			8		0	u3 =2
	20		[ 2]		20				0		20
vj	v1 =3		v2 = 5		v3 = 1				v3 = 6		v4 = 2